⊣ Відбиття хвиль
Імпульс і хвиля на межі: закріплений кінець, вільний кінець і перехід в інше середовище з коефіцієнтами відбиття та проходження.
Межа:
Хвиля:
Швидкість анімації×1,0
Приклади (часткова передача):
Коефіцієнти на межі
—
Відбиття r (за амплітудою)
—
Проходження t (за амплітудою)
—
Відбита енергія R = r²
—
Пройдена енергія 1 − r²
—
Зсув фази при відбитті
—
Коефіцієнт стоячої хвилі (1 + |r|) / (1 − |r|)
Закріплена межа: r = −1, зміщення на межі завжди нуль Вільна межа: r = +1, зміщення на межі подвоюється
Дві середовища: r = (Z₁ − Z₂) / (Z₁ + Z₂) = (1 − k) / (1 + k), t = 2Z₁ / (Z₁ + Z₂) = 2 / (1 + k), k = Z₂ / Z₁
Для струни: Z = √(T μ) = μ v, t = 1 + r, r² + (Z₂ / Z₁) t² = 1
Дві середовища: r = (Z₁ − Z₂) / (Z₁ + Z₂) = (1 − k) / (1 + k), t = 2Z₁ / (Z₁ + Z₂) = 2 / (1 + k), k = Z₂ / Z₁
Для струни: Z = √(T μ) = μ v, t = 1 + r, r² + (Z₂ / Z₁) t² = 1
- Блакитна лінія — сума падаючої та відбитої хвилі ліворуч від межі. Увімкніть «Показати падаючу та відбиту окремо», щоб побачити їх пунктиром. Для закріпленої межі відбита хвиля перевернута, для вільної ні.
- У режимі «Часткова передача» праворуч заливка другого середовища. Фіолетова хвиля це частина, що пройшла. Вона може мати більшу амплітуду, ніж падаюча (t до 2), але енергії несе менше: r² + (Z₂/Z₁)·t² = 1.
- Відносний імпеданс k = Z₂ / Z₁. При k > 1 друге середовище «важче» (r < 0, імпульс відбивається перевернутим), при k < 1 «легше» (r > 0). При k → ∞ межа веде себе як закріплена, при k → 0 як вільна, при k = 1 відбиття немає.
- Вигляд «Неперервна синусоїда» показує стоячу хвилю, що виникає від накладання падаючої й відбитої хвиль. При |r| = 1 є нерухомі вузли, при менших значеннях вони не доходять до нуля, і це характеризує коефіцієнт стоячої хвилі.
Дві струни з різною лінійною густиною, з'єднані й натягнуті однаковою силою. Введіть натяг і густини: отримаєте швидкості хвиль, відносний імпеданс і коефіцієнти відбиття та проходження.
Натяг T, Н
Густина першої струни μ₁, г/м
Густина другої струни μ₂, г/м
Приклади:
—
Швидкість v₁, м/с
—
Швидкість v₂, м/с
—
Відносний імпеданс k = Z₂ / Z₁
—
Відбиття r
—
Проходження t
—
Відбита / пройдена енергія, %
v = √(T / μ), Z = √(T μ), k = Z₂ / Z₁ = √(μ₂ / μ₁)
r = (1 − k) / (1 + k), t = 2 / (1 + k)
r = (1 − k) / (1 + k), t = 2 / (1 + k)
Коефіцієнти залежно від відносного імпедансу k = Z₂ / Z₁
| k | Відбиття r | Проходження t | Відбита енергія | Пройдена енергія |
|---|---|---|---|---|
| 0,1 | 0,82 | 1,82 | 67 % | 33 % |
| 0,3 | 0,54 | 1,54 | 29 % | 71 % |
| 0,5 | 0,33 | 1,33 | 11 % | 89 % |
| 1 | 0,00 | 1,00 | 0 % | 100 % |
| 1,6 | -0,23 | 0,77 | 5 % | 95 % |
| 2 | -0,33 | 0,67 | 11 % | 89 % |
| 3 | -0,50 | 0,50 | 25 % | 75 % |
| 10 | -0,82 | 0,18 | 67 % | 33 % |
| ∞ (закріплена) | −1,00 | 0,00 | 100 % | 0 % |
| 0 (вільна) | +1,00 | — | 100 % | 0 % |
Відбиття хвиль онлайн: закріплена й вільна межа, часткова передача
Безкоштовний інтерактивний інструмент, що показує, як хвильовий імпульс відбивається від межі. На закріпленому кінці імпульс перевертається, на вільному відбивається без інверсії, а при переході в інше середовище частина хвилі відбивається, а частина проходить далі. Змінюйте відносний імпеданс і швидкість у другому середовищі, перемикайтеся між імпульсом і неперервною синусоїдою та дивіться коефіцієнти відбиття й проходження, енергію та коефіцієнт стоячої хвилі. Калькулятор рахує ці величини для двох струн різної густини.
Ключові поняття
Коефіцієнт відбиття
Відношення амплітуди відбитої хвилі до падаючої. Від'ємне значення означає інверсію (зсув фази 180°).
r = (1 − k) / (1 + k)
Імпеданс середовища
Характеристика опору середовища хвилі. Для струни Z = √(Tμ). Відбиття виникає там, де імпеданс змінюється; при рівних імпедансах хвиля проходить без відбиття.
Z₁ = Z₂ → r = 0
Стояча хвиля при відбитті
Накладання падаючої й відбитої синусоїд. При повному відбитті утворюються нерухомі вузли, при частковому вузли стають неповними.
КСХ = (1 + |r|) / (1 − |r|)
Де це застосовують
- Лінії передачі та коаксіальні кабелі: узгодження навантаження, щоб сигнал не відбивався
- Ультразвукова діагностика: відбиття на межах тканин з різним акустичним імпедансом
- Просвітлювальні покриття оптики й відбиття світла на межі двох середовищ
- Сейсмологія: відбиття й проходження хвиль на межах земних шарів
- Музичні інструменти та акустика приміщень
- Лабораторні роботи з хвиль на струні та пружині
Як користуватись
- Оберіть закріплену межу й спостерігайте, як імпульс перевертається при відбитті
- Перемкніться на вільну межу: імпульс відбивається з тим самим знаком, а кінець рухається подвоєним розмахом
- Увімкніть «Часткова передача» й рухайте відносний імпеданс: відбиття, проходження й енергія змінюються
- Знайдіть k = 1, де відбиття зникає
- Перемкніть «Хвиля» на синусоїду та подивіться на стоячу хвилю
- У вкладці «Калькулятор» введіть натяг і густини своїх струн
Часті запитання
Чому імпульс перевертається на закріпленому кінці?
На закріпленому кінці струна не може зміщуватися: y = 0 у будь-який момент. Це можливо, лише якщо відбита хвиля в точці межі точно гасить падаючу, тобто має протилежний знак. Тому відбитий імпульс перевернутий, r = −1.
Що відбувається на вільному кінці?
Вільний кінець може рухатися, але сила натягу в ньому дорівнює нулю, тобто нахил струни нульовий. Відбита хвиля має той самий знак, r = +1, а на самій межі падаюча й відбита хвилі додаються, тож зміщення кінця вдвічі більше за амплітуду імпульсу.
Що таке відносний імпеданс і як він визначає відбиття?
Для струни імпеданс Z = √(Tμ). Для двох струн із однаковим натягом відносний імпеданс k = Z₂/Z₁ = √(μ₂/μ₁). Коефіцієнт відбиття r = (1 − k)/(1 + k), а проходження t = 2/(1 + k). Якщо k = 1, відбиття немає. Якщо k ≫ 1, межа майже закріплена, а якщо k ≪ 1, майже вільна.
Чи може пройдена хвиля мати більшу амплітуду, ніж падаюча?
Так, коли друге середовище «легше» (k < 1), коефіцієнт проходження t = 2/(1 + k) більший за 1, до 2. Це не порушує збереження енергії: пройдена хвиля несе потік енергії (Z₂/Z₁)·t², і разом із відбитим r² він завжди дорівнює 1.
Чому в симуляції r при k > 1 від'ємний, адже в оригінальній версії інакше?
У цьому інструменті k = Z₂/Z₁ і r = (1 − k)/(1 + k). Тоді при k → ∞ межа веде себе як закріплена з r → −1, а при k → 0 як вільна з r → +1. У вихідній демонстрації формула r = (k − 1)/(k + 1) дає протилежний знак, тому тут вона виправлена.