⊣ Отражение волн
Импульс и волна на границе: закреплённый конец, свободный конец и переход в другую среду с коэффициентами отражения и прохождения.
Граница:
Волна:
Скорость анимации×1,0
Примеры (частичное прохождение):
Коэффициенты на границе
—
Отражение r (по амплитуде)
—
Прохождение t (по амплитуде)
—
Отражённая энергия R = r²
—
Прошедшая энергия 1 − r²
—
Сдвиг фазы при отражении
—
Коэффициент стоячей волны (1 + |r|) / (1 − |r|)
Закреплённая граница: r = −1, смещение на границе всегда равно нулю Свободная граница: r = +1, смещение на границе удваивается
Две среды: r = (Z₁ − Z₂) / (Z₁ + Z₂) = (1 − k) / (1 + k), t = 2Z₁ / (Z₁ + Z₂) = 2 / (1 + k), k = Z₂ / Z₁
Для струны: Z = √(T μ) = μ v, t = 1 + r, r² + (Z₂ / Z₁) t² = 1
Две среды: r = (Z₁ − Z₂) / (Z₁ + Z₂) = (1 − k) / (1 + k), t = 2Z₁ / (Z₁ + Z₂) = 2 / (1 + k), k = Z₂ / Z₁
Для струны: Z = √(T μ) = μ v, t = 1 + r, r² + (Z₂ / Z₁) t² = 1
- Голубая линия — сумма падающей и отражённой волн слева от границы. Включите «Показать падающую и отражённую отдельно», чтобы увидеть их пунктиром. Для закреплённой границы отражённая волна перевёрнута, для свободной нет.
- В режиме «Частичное прохождение» справа залита вторая среда. Фиолетовая волна — это часть, прошедшая во вторую среду. Она может иметь большую амплитуду, чем падающая (t до 2), но несёт меньше энергии: r² + (Z₂/Z₁)·t² = 1.
- Относительный импеданс k = Z₂ / Z₁. При k > 1 вторая среда «тяжелее» (r < 0, импульс отражается перевёрнутым), при k < 1 «легче» (r > 0). При k → ∞ граница ведёт себя как закреплённая, при k → 0 как свободная, при k = 1 отражения нет.
- Вид «Непрерывная синусоида» показывает стоячую волну, возникающую при наложении падающей и отражённой волн. При |r| = 1 есть неподвижные узлы, при меньших значениях они не доходят до нуля, и это характеризует коэффициент стоячей волны.
Две струны с разной линейной плотностью, соединённые и натянутые одинаковой силой. Введите натяжение и плотности: вы получите скорости волн, относительный импеданс и коэффициенты отражения и прохождения.
Натяжение T, Н
Плотность первой струны μ₁, г/м
Плотность второй струны μ₂, г/м
Примеры:
—
Скорость v₁, м/с
—
Скорость v₂, м/с
—
Относительный импеданс k = Z₂ / Z₁
—
Отражение r
—
Прохождение t
—
Отражённая / прошедшая энергия, %
v = √(T / μ), Z = √(T μ), k = Z₂ / Z₁ = √(μ₂ / μ₁)
r = (1 − k) / (1 + k), t = 2 / (1 + k)
r = (1 − k) / (1 + k), t = 2 / (1 + k)
Коэффициенты в зависимости от относительного импеданса k = Z₂ / Z₁
| k | Отражение r | Прохождение t | Отражённая энергия | Прошедшая энергия |
|---|---|---|---|---|
| 0,1 | 0,82 | 1,82 | 67 % | 33 % |
| 0,3 | 0,54 | 1,54 | 29 % | 71 % |
| 0,5 | 0,33 | 1,33 | 11 % | 89 % |
| 1 | 0,00 | 1,00 | 0 % | 100 % |
| 1,6 | -0,23 | 0,77 | 5 % | 95 % |
| 2 | -0,33 | 0,67 | 11 % | 89 % |
| 3 | -0,50 | 0,50 | 25 % | 75 % |
| 10 | -0,82 | 0,18 | 67 % | 33 % |
| ∞ (закреплённая) | −1,00 | 0,00 | 100 % | 0 % |
| 0 (свободная) | +1,00 | — | 100 % | 0 % |
Отражение волн онлайн: закреплённая и свободная граница, частичное прохождение
Бесплатный интерактивный инструмент, показывающий, как волновой импульс отражается от границы. На закреплённом конце импульс переворачивается, на свободном отражается без инверсии, а при переходе в другую среду часть волны отражается, а часть проходит дальше. Меняйте относительный импеданс и скорость во второй среде, переключайтесь между импульсом и непрерывной синусоидой и смотрите коэффициенты отражения и прохождения, энергию и коэффициент стоячей волны. Калькулятор считает эти величины для двух струн разной плотности.
Ключевые понятия
Коэффициент отражения
Отношение амплитуды отражённой волны к амплитуде падающей. Отрицательное значение означает инверсию (сдвиг фазы 180°).
r = (1 − k) / (1 + k)
Импеданс среды
Характеристика сопротивления среды волне. Для струны Z = √(Tμ). Отражение возникает там, где импеданс меняется; при равных импедансах волна проходит без отражения.
Z₁ = Z₂ → r = 0
Стоячая волна при отражении
Наложение падающей и отражённой синусоид. При полном отражении образуются неподвижные узлы, при частичном узлы становятся неполными.
КСВ = (1 + |r|) / (1 − |r|)
Где это применяют
- Линии передачи и коаксиальные кабели: согласование нагрузки, чтобы сигнал не отражался
- Ультразвуковая диагностика: отражение на границах тканей с разным акустическим импедансом
- Просветляющие покрытия оптики и отражение света на границе двух сред
- Сейсмология: отражение и прохождение волн на границах слоёв Земли
- Музыкальные инструменты и акустика помещений
- Лабораторные работы по волнам на струне и пружине
Как пользоваться
- Выберите закреплённую границу и наблюдайте, как импульс переворачивается при отражении
- Переключитесь на свободную границу: импульс отражается с тем же знаком, а конец движется с удвоенным размахом
- Включите «Частичное прохождение» и меняйте относительный импеданс: отражение, прохождение и энергия изменяются
- Найдите k = 1, при котором отражение исчезает
- Переключите «Волна» на синусоиду и посмотрите на стоячую волну
- Во вкладке «Калькулятор» введите натяжение и плотности своих струн
Частые вопросы
Почему импульс переворачивается на закреплённом конце?
На закреплённом конце струна не может смещаться: y = 0 в любой момент. Это возможно, только если отражённая волна в точке границы точно гасит падающую, то есть имеет противоположный знак. Поэтому отражённый импульс перевёрнут, r = −1.
Что происходит на свободном конце?
Свободный конец может двигаться, но сила натяжения в нём равна нулю, то есть наклон струны нулевой. Отражённая волна имеет тот же знак, r = +1, а на самой границе падающая и отражённая волны складываются, поэтому смещение конца вдвое больше амплитуды импульса.
Что такое относительный импеданс и как он определяет отражение?
Для струны импеданс Z = √(Tμ). Для двух струн с одинаковым натяжением относительный импеданс k = Z₂/Z₁ = √(μ₂/μ₁). Коэффициент отражения r = (1 − k)/(1 + k), а прохождения t = 2/(1 + k). Если k = 1, отражения нет. Если k ≫ 1, граница почти закреплена, а если k ≪ 1, почти свободна.
Может ли прошедшая волна иметь большую амплитуду, чем падающая?
Да, когда вторая среда «легче» (k < 1) коэффициент прохождения t = 2/(1 + k) больше 1, до 2. Это не нарушает сохранения энергии: прошедшая волна несёт поток энергии (Z₂/Z₁)·t², и вместе с отражённым r² он всегда равен 1.
Почему в симуляции r при k > 1 отрицателен, ведь в оригинальной версии иначе?
В этом инструменте k = Z₂/Z₁ и r = (1 − k)/(1 + k). Тогда при k → ∞ граница ведёт себя как закреплённая с r → −1, а при k → 0 как свободная с r → +1. В исходной демонстрации формула r = (k − 1)/(k + 1) даёт противоположный знак, поэтому здесь она исправлена.