⊣ Wellenreflexion
Puls und Welle an einer Grenze: festes Ende, freies Ende und Übergang in ein anderes Medium mit Reflexions- und Transmissionskoeffizienten.
Rand:
Welle:
Animationsgeschwindigkeit×1,0
Beispiele (Teiltransmission):
Koeffizienten an der Grenze
—
Reflexion r (Amplitude)
—
Transmission t (Amplitude)
—
Reflektierte Energie R = r²
—
Durchgelassene Energie 1 − r²
—
Phasensprung bei der Reflexion
—
Stehwellenverhältnis (1 + |r|) / (1 − |r|)
Festes Ende: r = −1, die Auslenkung an der Grenze ist stets null Freies Ende: r = +1, die Auslenkung an der Grenze verdoppelt sich
Zwei Medien: r = (Z₁ − Z₂) / (Z₁ + Z₂) = (1 − k) / (1 + k), t = 2Z₁ / (Z₁ + Z₂) = 2 / (1 + k), k = Z₂ / Z₁
Für eine Saite: Z = √(T μ) = μ v, t = 1 + r, r² + (Z₂ / Z₁) t² = 1
Zwei Medien: r = (Z₁ − Z₂) / (Z₁ + Z₂) = (1 − k) / (1 + k), t = 2Z₁ / (Z₁ + Z₂) = 2 / (1 + k), k = Z₂ / Z₁
Für eine Saite: Z = √(T μ) = μ v, t = 1 + r, r² + (Z₂ / Z₁) t² = 1
- Die hellblaue Linie ist die Summe aus einfallender und reflektierter Welle links von der Grenze. Aktivieren Sie „Einfallende und reflektierte Welle getrennt zeigen“, um sie gestrichelt zu sehen. Am festen Ende ist die reflektierte Welle invertiert, am freien nicht.
- Im Modus „Teiltransmission“ ist rechts das zweite Medium schattiert. Die violette Welle ist der durchgelassene Anteil. Sie kann eine größere Amplitude haben als die einfallende (t bis 2), trägt aber weniger Energie: r² + (Z₂/Z₁)·t² = 1.
- Relative Impedanz k = Z₂ / Z₁. Für k > 1 ist das zweite Medium „schwerer“ (r < 0, der Puls wird invertiert reflektiert), für k < 1 „leichter“ (r > 0). Für k → ∞ verhält sich die Grenze wie ein festes Ende, für k → 0 wie ein freies, und bei k = 1 gibt es keine Reflexion.
- Die Ansicht „Kontinuierliche Sinuswelle“ zeigt die stehende Welle, die durch die Überlagerung von einfallender und reflektierter Welle entsteht. Bei |r| = 1 gibt es ruhende Knoten, bei kleineren Werten erreichen sie nicht null, und das beschreibt das Stehwellenverhältnis.
Zwei Saiten mit unterschiedlicher linearer Dichte, verbunden und mit derselben Kraft gespannt. Geben Sie die Spannkraft und die Dichten ein: Sie erhalten die Wellengeschwindigkeiten, die relative Impedanz sowie die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten.
Spannkraft T, N
Dichte der ersten Saite μ₁, g/m
Dichte der zweiten Saite μ₂, g/m
Beispiele:
—
Geschwindigkeit v₁, m/s
—
Geschwindigkeit v₂, m/s
—
Relative Impedanz k = Z₂ / Z₁
—
Reflexion r
—
Transmission t
—
Reflektierte / durchgelassene Energie, %
v = √(T / μ), Z = √(T μ), k = Z₂ / Z₁ = √(μ₂ / μ₁)
r = (1 − k) / (1 + k), t = 2 / (1 + k)
r = (1 − k) / (1 + k), t = 2 / (1 + k)
Koeffizienten in Abhängigkeit von der relativen Impedanz k = Z₂ / Z₁
| k | Reflexion r | Transmission t | Reflektierte Energie | Durchgelassene Energie |
|---|---|---|---|---|
| 0,1 | 0,82 | 1,82 | 67 % | 33 % |
| 0,3 | 0,54 | 1,54 | 29 % | 71 % |
| 0,5 | 0,33 | 1,33 | 11 % | 89 % |
| 1 | 0,00 | 1,00 | 0 % | 100 % |
| 1,6 | -0,23 | 0,77 | 5 % | 95 % |
| 2 | -0,33 | 0,67 | 11 % | 89 % |
| 3 | -0,50 | 0,50 | 25 % | 75 % |
| 10 | -0,82 | 0,18 | 67 % | 33 % |
| ∞ (festes Ende) | −1,00 | 0,00 | 100 % | 0 % |
| 0 (freies Ende) | +1,00 | — | 100 % | 0 % |
Wellenreflexion online: festes und freies Ende, Teiltransmission
Ein kostenloses interaktives Werkzeug, das zeigt, wie ein Wellenpuls an einer Grenze reflektiert wird. Am festen Ende wird der Puls umgekehrt, am freien Ende ohne Inversion reflektiert, und beim Übergang in ein anderes Medium wird ein Teil der Welle reflektiert, ein Teil läuft weiter. Verändern Sie die relative Impedanz und die Geschwindigkeit im zweiten Medium, wechseln Sie zwischen Puls und kontinuierlicher Sinuswelle und beobachten Sie Reflexions- und Transmissionskoeffizienten, Energie und Stehwellenverhältnis. Der Rechner berechnet diese Größen für zwei Saiten unterschiedlicher Dichte.
Schlüsselbegriffe
Reflexionskoeffizient
Das Verhältnis der Amplitude der reflektierten Welle zu der der einfallenden. Ein negativer Wert bedeutet Inversion (Phasensprung von 180°).
r = (1 − k) / (1 + k)
Impedanz des Mediums
Eine Kenngröße des Wellenwiderstands eines Mediums. Für eine Saite gilt Z = √(Tμ). Reflexion entsteht dort, wo sich die Impedanz ändert; bei gleichen Impedanzen läuft die Welle ohne Reflexion hindurch.
Z₁ = Z₂ → r = 0
Stehende Welle bei Reflexion
Die Überlagerung von einfallender und reflektierter Sinuswelle. Bei vollständiger Reflexion bilden sich ruhende Knoten, bei teilweiser Reflexion sind die Knoten unvollständig.
SWR = (1 + |r|) / (1 − |r|)
Wo es angewendet wird
- Übertragungsleitungen und Koaxialkabel: Anpassung der Last, damit das Signal nicht reflektiert wird
- Ultraschalldiagnostik: Reflexion an Grenzen von Gewebe mit unterschiedlicher akustischer Impedanz
- Entspiegelungsschichten in der Optik und Reflexion von Licht an der Grenzfläche zweier Medien
- Seismologie: Reflexion und Transmission von Wellen an den Grenzen der Erdschichten
- Musikinstrumente und Raumakustik
- Laborversuche zu Wellen auf einer Saite und einer Feder
So funktioniert’s
- Wählen Sie das feste Ende und beobachten Sie, wie der Puls bei der Reflexion umgekehrt wird
- Wechseln Sie zum freien Ende: Der Puls wird mit demselben Vorzeichen reflektiert, und das Ende schwingt mit doppeltem Ausschlag
- Aktivieren Sie „Teiltransmission“ und verschieben Sie die relative Impedanz: Reflexion, Transmission und Energie ändern sich
- Suchen Sie k = 1, wo die Reflexion verschwindet
- Stellen Sie „Welle“ auf Sinus um und betrachten Sie die stehende Welle
- Geben Sie im Reiter „Rechner“ die Spannkraft und die Dichten Ihrer eigenen Saiten ein
Häufige Fragen
Warum wird der Puls am festen Ende invertiert?
Am festen Ende kann sich die Saite nicht auslenken: y = 0 zu jedem Zeitpunkt. Das ist nur möglich, wenn die reflektierte Welle am Grenzpunkt die einfallende genau auslöscht, also das entgegengesetzte Vorzeichen hat. Deshalb ist der reflektierte Puls invertiert, r = −1.
Was passiert am freien Ende?
Ein freies Ende kann sich bewegen, aber die Spannkraft ist dort null, das heißt, die Steigung der Saite ist null. Die reflektierte Welle hat dasselbe Vorzeichen, r = +1, und an der Grenze selbst addieren sich einfallende und reflektierte Welle, sodass die Auslenkung des Endes doppelt so groß ist wie die Amplitude des Pulses.
Was ist die relative Impedanz und wie bestimmt sie die Reflexion?
Für eine Saite ist die Impedanz Z = √(Tμ). Für zwei Saiten mit gleicher Spannkraft ist die relative Impedanz k = Z₂/Z₁ = √(μ₂/μ₁). Der Reflexionskoeffizient ist r = (1 − k)/(1 + k), der Transmissionskoeffizient t = 2/(1 + k). Für k = 1 gibt es keine Reflexion. Für k ≫ 1 ist die Grenze nahezu fest, für k ≪ 1 nahezu frei.
Kann die durchgelassene Welle eine größere Amplitude haben als die einfallende?
Ja, wenn das zweite Medium „leichter“ ist (k < 1) ist der Transmissionskoeffizient t = 2/(1 + k) größer als 1, bis zu 2. Das verletzt die Energieerhaltung nicht: Die durchgelaufene Welle trägt den Energiestrom (Z₂/Z₁)·t², und zusammen mit dem reflektierten r² ergibt er immer 1.
Warum ist r in der Simulation für k > 1 negativ, obwohl es in der Originalversion anders ist?
In diesem Werkzeug gilt k = Z₂/Z₁ und r = (1 − k)/(1 + k). Dann verhält sich die Grenze für k → ∞ wie ein festes Ende mit r → −1 und für k → 0 wie ein freies mit r → +1. In der ursprünglichen Demonstration liefert die Formel r = (k − 1)/(k + 1) das umgekehrte Vorzeichen, deshalb wurde sie hier korrigiert.