∿ Стоячі хвилі
Моди коливань струни: вузли й пучності, біжучі хвилі, з яких складається стояча, гармонічний ряд і калькулятор для реальних струн.
Мода n3
Амплітуда0.60
Згасання0.020
Швидкість анімації×1.0
Вигляд:
Кінці:
Частота анімації:
Режим:
Приклади:
Параметри вибраної моди
—
Мода n
—
Вузлів (з кінцями)
—
Пучностей
—
Довжина хвилі λn (L — довжина струни)
—
Частота fn
—
Режим коливань
Закріплені кінці: λn = 2L / n, fn = n · v / 2L = n · f₁
Один кінець вільний: λn = 4L / (2n − 1), fn = (2n − 1) · v / 4L
Швидкість хвилі на струні: v = √(T / μ)
Один кінець вільний: λn = 4L / (2n − 1), fn = (2n − 1) · v / 4L
Швидкість хвилі на струні: v = √(T / μ)
- Стояча хвиля виникає, коли хвиля, що біжить уздовж струни, відбивається від кінця й накладається на падаючу. У вигляді «Біжучі складові» видно обидві хвилі (фіолетова йде праворуч, помаранчева ліворуч), а їхня сума, блакитна крива, не рухається вздовж струни.
- Жовті точки — вузли, де струна не рухається. Між вузлами пучності з найбільшим розмахом. Закріплений кінець завжди вузол, вільний кінець завжди пучність.
- У режимі «Вільні» (як в оригіналі) струна, яку «вдарили», згасає за законом e−γt: при γ = 0,02 амплітуда падає в e разів приблизно за 50 с. Зміна моди збуджує струну заново. У режимі «Вимушені» амплітуда стійка, ніби моду підтримує зовнішня сила на резонансній частоті.
- Вигляд «Усі гармоніки» показує перші вісім мод одночасно. За замовчуванням усі коливаються з однаковою швидкістю, як в оригіналі (cos 2,2·t, період 2,86 с). Режим «Пропорційна n» показує фізичну залежність fn ∝ n: кожна наступна мода коливається швидше і має на один вузол більше.
- Кнопка «Звук» грає тон із частотою fn за f₁ = 110 Гц (нота ля): при n = 4 це 440 Гц.
Введіть параметри реальної струни: довжину, натяг і лінійну густину. Отримаєте швидкість хвилі, основну частоту, частоти гармонік і положення вузлів.
Довжина струни L, м
Натяг T, Н
Лінійна густина μ, г/м
Номер гармоніки n
Кінці струни
Приклади:
—
Швидкість хвилі v, м/с
—
Основна частота f₁, Гц
—
Частота fn, Гц
—
Довжина хвилі λn, м
—
Вузлів / пучностей
—
Вузли від закріпленого кінця, м
v = √(T / μ), f₁ = v / 2L (закріплені кінці) або v / 4L (один вільний)
fn = n · f₁ (закріплені) або (2n − 1) · f₁ (один вільний)
fn = n · f₁ (закріплені) або (2n − 1) · f₁ (один вільний)
Гармонічний ряд: закріплені кінці та один вільний кінець
| n | Закріплені: f / f₁ | Вузлів | Пучностей | Один вільний: f / f₁ | Вузлів | Пучностей |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 3 | 2 | 3 | 2 | 2 |
| 3 | 3 | 4 | 3 | 5 | 3 | 3 |
| 4 | 4 | 5 | 4 | 7 | 4 | 4 |
| 5 | 5 | 6 | 5 | 9 | 5 | 5 |
| 6 | 6 | 7 | 6 | 11 | 6 | 6 |
Стоячі хвилі на струні онлайн: симуляція та калькулятор гармонік
Безкоштовний інтерактивний інструмент, що показує, як у струні виникають стоячі хвилі. Обирайте номер моди, амплітуду й згасання, дивіться вузли та пучності, розкладайте стоячу хвилю на дві біжучі й порівнюйте перші вісім гармонік. Можна закріпити обидва кінці або залишити один вільним, увімкнути звук і розрахувати основну частоту та гармоніки для реальної гітарної, скрипкової чи будь-якої іншої струни.
Ключові поняття
Вузли й пучності
У вузлах струна нерухома, в пучностях коливається з найбільшою амплітудою. Відстань між сусідніми вузлами дорівнює половині довжини хвилі.
n = 4 → 5 вузлів, 4 пучності
Гармоніки
Моди струни з закріпленими кінцями мають частоти, кратні основній. Саме набір гармонік визначає тембр інструмента.
fn = n · f₁
Швидкість хвилі на струні
Залежить від натягу й лінійної густини: що сильніше натягнута й легша струна, то швидша хвиля і вищий тон.
v = √(T / μ)
Де це застосовують
- Струнні музичні інструменти: гітара, скрипка, фортепіано, арфа
- Духові інструменти й органні труби (стоячі хвилі тиску в повітряному стовпі)
- Резонатори лазерів і мікрохвильових печей
- Налаштування інструментів і розрахунок струн за натягом
- Квантова механіка: стаціонарні стани частинки в потенціальній ямі аналогічні модам струни
- Лабораторні роботи з акустики та хвильової фізики
Як користуватись
- Рухайте повзунок «Мода n» і рахуйте вузли та пучності
- Перемкніть вигляд на «Біжучі складові», щоб побачити, з яких хвиль складається стояча
- Увімкніть «Усі гармоніки» й порівняйте частоти різних мод
- Обирайте «Правий кінець вільний» і дивіться, як змінюється ряд гармонік
- Натисніть «Звук», щоб почути тон вибраної моди
- У вкладці «Калькулятор» введіть довжину, натяг і густину своєї струни
Часті запитання
Що таке стояча хвиля?
Це коливання, при якому форма хвилі не біжить уздовж середовища, а лишається на місці: у нерухомих вузлах амплітуда нульова, а між ними пучності коливаються з максимальним розмахом. Стояча хвиля виникає як сума двох однакових хвиль, що біжать назустріч.
Чому на струні виникають лише певні частоти?
На закріплених кінцях струна не може рухатися, тому на довжині L має вкластися ціле число півхвиль: L = n·λ/2. Звідси довжини хвиль λₙ = 2L/n і частоти fₙ = n·v/(2L). Інші частоти не дають стійкої картини й швидко гасяться.
Чим вузол відрізняється від пучності?
У вузлі зміщення струни завжди нульове, у пучності воно максимальне. Відстань між сусідніми вузлами та між сусідніми пучностями дорівнює λ/2. Закріплений кінець завжди є вузлом, а вільний кінець завжди пучністю.
Як розрахувати основну частоту струни?
Спершу знайдіть швидкість хвилі v = √(T/μ), де T — натяг у ньютонах, μ — лінійна густина в кг/м. Для струни з двома закріпленими кінцями f₁ = v/(2L). Тому коротша, туга й легка струна звучить вище. Калькулятор на сторінці робить це автоматично.
Чи переносить стояча хвиля енергію?
У середньому ні: падаюча й відбита хвилі переносять рівні потоки енергії в протилежних напрямках, тому чистого потоку немає. Енергія переходить між кінетичною (у районі пучностей) і потенціальною (деформація біля вузлів), але вздовж струни не тече.