∿ Стоячие волны
Моды колебаний струны: узлы и пучности, бегущие волны, из которых состоит стоячая, гармонический ряд и калькулятор для реальных струн.
Мода n3
Амплитуда0.60
Затухание0.020
Скорость анимации×1.0
Вид:
Концы:
Частота анимации:
Режим:
Примеры:
Параметры выбранной моды
—
Мода n
—
Узлов (с концами)
—
Пучностей
—
Длина волны λn (L — длина струны)
—
Частота fn
—
Режим колебаний
Закреплённые концы: λn = 2L / n, fn = n · v / 2L = n · f₁
Один конец свободен: λn = 4L / (2n − 1), fn = (2n − 1) · v / 4L
Скорость волны на струне: v = √(T / μ)
Один конец свободен: λn = 4L / (2n − 1), fn = (2n − 1) · v / 4L
Скорость волны на струне: v = √(T / μ)
- Стоячая волна возникает, когда волна, бегущая вдоль струны, отражается от конца и накладывается на падающую. В виде «Бегущие составляющие» видны обе волны (фиолетовая идёт вправо, оранжевая влево), а их сумма, голубая кривая, не движется вдоль струны.
- Жёлтые точки — узлы, в которых струна не движется. Между узлами находятся пучности с наибольшим размахом. Закреплённый конец всегда узел, свободный конец всегда пучность.
- В режиме «Свободные» (как в оригинале) струна, по которой «ударили», затухает по закону e−γt: при γ = 0,02 амплитуда падает в e раз примерно за 50 с. Смена моды возбуждает струну заново. В режиме «Вынужденные» амплитуда стационарна, словно моду поддерживает внешняя сила на резонансной частоте.
- Вид «Все гармоники» показывает первые восемь мод одновременно. По умолчанию все колеблются с одинаковой скоростью, как в оригинале (cos 2,2·t, период 2,86 с). Режим «Пропорциональна n» показывает физическую зависимость fn ∝ n: каждая следующая мода колеблется быстрее и имеет на один узел больше.
- Кнопка «Звук» воспроизводит тон с частотой fn при f₁ = 110 Гц (нота ля): при n = 4 это 440 Гц.
Введите параметры реальной струны: длину, натяжение и линейную плотность. Вы получите скорость волны, основную частоту, частоты гармоник и положение узлов.
Длина струны L, м
Натяжение T, Н
Линейная плотность μ, г/м
Номер гармоники n
Концы струны
Примеры:
—
Скорость волны v, м/с
—
Основная частота f₁, Гц
—
Частота fn, Гц
—
Длина волны λn, м
—
Узлов / пучностей
—
Узлы от закреплённого конца, м
v = √(T / μ), f₁ = v / 2L (закреплённые концы) или v / 4L (один свободный)
fn = n · f₁ (закреплённые) или (2n − 1) · f₁ (один свободный)
fn = n · f₁ (закреплённые) или (2n − 1) · f₁ (один свободный)
Гармонический ряд: закреплённые концы и один свободный конец
| n | Закреплённые: f / f₁ | Узлов | Пучностей | Один свободный: f / f₁ | Узлов | Пучностей |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 3 | 2 | 3 | 2 | 2 |
| 3 | 3 | 4 | 3 | 5 | 3 | 3 |
| 4 | 4 | 5 | 4 | 7 | 4 | 4 |
| 5 | 5 | 6 | 5 | 9 | 5 | 5 |
| 6 | 6 | 7 | 6 | 11 | 6 | 6 |
Стоячие волны на струне онлайн: симуляция и калькулятор гармоник
Бесплатный интерактивный инструмент, показывающий, как в струне возникают стоячие волны. Выбирайте номер моды, амплитуду и затухание, смотрите узлы и пучности, раскладывайте стоячую волну на две бегущие и сравнивайте первые восемь гармоник. Можно закрепить оба конца или оставить один свободным, включить звук и рассчитать основную частоту и гармоники для реальной гитарной, скрипичной или любой другой струны.
Ключевые понятия
Узлы и пучности
В узлах струна неподвижна, в пучностях колеблется с наибольшей амплитудой. Расстояние между соседними узлами равно половине длины волны.
n = 4 → 5 узлов, 4 пучности
Гармоники
Моды струны с закреплёнными концами имеют частоты, кратные основной. Именно набор гармоник определяет тембр инструмента.
fn = n · f₁
Скорость волны на струне
Зависит от натяжения и линейной плотности: чем сильнее натянута и легче струна, тем быстрее волна и выше тон.
v = √(T / μ)
Где это применяют
- Струнные музыкальные инструменты: гитара, скрипка, фортепиано, арфа
- Духовые инструменты и органные трубы (стоячие волны давления в воздушном столбе)
- Резонаторы лазеров и микроволновых печей
- Настройка инструментов и расчёт струн по натяжению
- Квантовая механика: стационарные состояния частицы в потенциальной яме аналогичны модам струны
- Лабораторные работы по акустике и волновой физике
Как пользоваться
- Двигайте ползунок «Мода n» и считайте узлы и пучности
- Переключите вид на «Бегущие составляющие», чтобы увидеть, из каких волн состоит стоячая
- Включите «Все гармоники» и сравните частоты разных мод
- Выбирайте «Правый конец свободен» и смотрите, как меняется ряд гармоник
- Нажмите «Звук», чтобы услышать тон выбранной моды
- Во вкладке «Калькулятор» введите длину, натяжение и плотность своей струны
Частые вопросы
Что такое стоячая волна?
Это колебание, при котором форма волны не бежит вдоль среды, а остаётся на месте: в неподвижных узлах амплитуда нулевая, а между ними пучности колеблются с максимальным размахом. Стоячая волна возникает как сумма двух одинаковых волн, бегущих навстречу друг другу.
Почему на струне возникают только определённые частоты?
На закреплённых концах струна не может двигаться, поэтому на длине L должно уложиться целое число полуволн: L = n·λ/2. Отсюда длины волн λₙ = 2L/n и частоты fₙ = n·v/(2L). Другие частоты не дают устойчивой картины и быстро затухают.
Чем узел отличается от пучности?
В узле смещение струны всегда нулевое, в пучности оно максимально. Расстояние между соседними узлами и между соседними пучностями равно λ/2. Закреплённый конец всегда является узлом, а свободный конец всегда пучностью.
Как рассчитать основную частоту струны?
Сначала найдите скорость волны v = √(T/μ), где T — натяжение в ньютонах, μ — линейная плотность в кг/м. Для струны с двумя закреплёнными концами f₁ = v/(2L). Поэтому более короткая, тугая и лёгкая струна звучит выше. Калькулятор на странице делает это автоматически.
Переносит ли стоячая волна энергию?
В среднем нет: падающая и отражённая волны переносят равные потоки энергии в противоположных направлениях, поэтому суммарного потока нет. Энергия переходит между кинетической (в области пучностей) и потенциальной (деформация возле узлов), но вдоль струны не течёт.