∿ Fale stojące

Mody drgań struny: węzły i strzałki, fale biegnące tworzące falę stojącą, szereg harmonicznych i kalkulator dla rzeczywistych strun.

Mod n3

Amplituda0.60

Tłumienie0.020

Prędkość animacji×1.0

Widok:

Końce:

Częstotliwość animacji:

Tryb:

Przykłady:

Obwiednia Zaznacz strzałki

Parametry wybranego modu

—

Mod n

—

Węzłów (z końcami)

—

Strzałek

—

Długość fali λ_n (L — długość struny)

—

Częstotliwość f_n

—

Tryb drgań

Końce zamocowane: λ_n = 2L / n, f_n = n · v / 2L = n · f₁
Jeden koniec swobodny: λ_n = 4L / (2n − 1), f_n = (2n − 1) · v / 4L
Prędkość fali na strunie: v = √(T / μ)

Fala stojąca powstaje, gdy fala biegnąca wzdłuż struny odbija się od końca i nakłada na falę padającą. W widoku „Składowe biegnące” widać obie fale (fioletowa biegnie w prawo, pomarańczowa w lewo), a ich suma, niebieska krzywa, nie przesuwa się wzdłuż struny.
Żółte punkty to węzły, w których struna się nie porusza. Między węzłami są strzałki o największym rozmachu. Koniec zamocowany jest zawsze węzłem, koniec swobodny zawsze strzałką.
W trybie „Swobodne” (jak w oryginale) szarpnięta struna zanika według prawa e^−γt: przy γ = 0,02 amplituda maleje e razy w ciągu około 50 s. Zmiana modu pobudza strunę od nowa. W trybie „Wymuszone” amplituda jest stała, jakby mod podtrzymywała siła zewnętrzna o częstotliwości rezonansowej.
Widok „Wszystkie harmoniczne” pokazuje jednocześnie osiem pierwszych modów. Domyślnie wszystkie drgają z jednakową szybkością, jak w oryginale (cos 2,2·t, okres 2,86 s). Tryb „Proporcjonalna do n” pokazuje zależność fizyczną f_n ∝ n: każdy kolejny mod drga szybciej i ma o jeden węzeł więcej.
Przycisk „Dźwięk” odtwarza ton o częstotliwości f_n dla f₁ = 110 Hz (nuta A): dla n = 4 jest to 440 Hz.

Wprowadź parametry rzeczywistej struny: długość, naciąg i gęstość liniową. Otrzymasz prędkość fali, częstotliwość podstawową, częstotliwości harmonicznych i położenie węzłów.

Długość struny L, m

Naciąg T, N

Gęstość liniowa μ, g/m

Numer harmonicznej n

Końce struny

Przykłady:

—

Prędkość fali v, m/s

—

Częstotliwość podstawowa f₁, Hz

—

Częstotliwość f_n, Hz

—

Długość fali λ_n, m

—

Węzłów / strzałek

—

Węzły od zamocowanego końca, m

v = √(T / μ), f₁ = v / 2L (końce zamocowane) lub v / 4L (jeden swobodny)
f_n = n · f₁ (zamocowane) lub (2n − 1) · f₁ (jeden swobodny)

Szereg harmonicznych: końce zamocowane i jeden koniec swobodny

n	Zamocowane: f / f₁	Węzłów	Strzałek	Jeden swobodny: f / f₁	Węzłów	Strzałek
1	1	2	1	1	1	1
2	2	3	2	3	2	2
3	3	4	3	5	3	3
4	4	5	4	7	4	4
5	5	6	5	9	5	5
6	6	7	6	11	6	6

Fale stojące na strunie online: symulacja i kalkulator harmonicznych

Darmowe interaktywne narzędzie pokazujące, jak na strunie powstają fale stojące. Wybieraj numer modu, amplitudę i tłumienie, obserwuj węzły i strzałki, rozkładaj falę stojącą na dwie biegnące i porównuj osiem pierwszych harmonicznych. Można zamocować oba końce lub zostawić jeden swobodny, włączyć dźwięk i obliczyć częstotliwość podstawową oraz harmoniczne dla rzeczywistej struny gitarowej, skrzypcowej lub dowolnej innej.

Kluczowe pojęcia

Węzły i strzałki

W węzłach struna spoczywa, w strzałkach drga z największą amplitudą. Odległość między sąsiednimi węzłami jest równa połowie długości fali.

n = 4 → 5 węzłów, 4 strzałki

Harmoniczne

Mody struny z zamocowanymi końcami mają częstotliwości będące wielokrotnościami podstawowej. To właśnie zestaw harmonicznych określa barwę instrumentu.

f_n = n · f₁

Prędkość fali na strunie

Zależy od naciągu i gęstości liniowej: im mocniej naciągnięta i lżejsza struna, tym szybsza fala i wyższy dźwięk.

v = √(T / μ)

Gdzie się to stosuje

Instrumenty strunowe: gitara, skrzypce, fortepian, harfa
Instrumenty dęte i piszczałki organowe (stojące fale ciśnienia w słupie powietrza)
Rezonatory laserów i kuchenek mikrofalowych
Strojenie instrumentów i obliczanie strun na podstawie naciągu
Mechanika kwantowa: stany stacjonarne cząstki w studni potencjału są analogiczne do modów struny
Ćwiczenia laboratoryjne z akustyki i fizyki fal

Jak korzystać

Przesuwaj suwak „Mod n” i licz węzły oraz strzałki
Przełącz widok na „Składowe biegnące”, aby zobaczyć, z jakich fal składa się fala stojąca
Włącz „Wszystkie harmoniczne” i porównaj częstotliwości różnych modów
Wybierz „Prawy koniec swobodny” i obserwuj, jak zmienia się szereg harmonicznych
Naciśnij „Dźwięk”, aby usłyszeć ton wybranego modu
W zakładce „Kalkulator” wprowadź długość, naciąg i gęstość swojej struny

Najczęstsze pytania

Czym jest fala stojąca?

To drganie, w którym kształt fali nie biegnie wzdłuż ośrodka, lecz pozostaje w miejscu: w nieruchomych węzłach amplituda jest zerowa, a między nimi strzałki drgają z maksymalnym rozmachem. Fala stojąca powstaje jako suma dwóch jednakowych fal biegnących naprzeciw siebie.

Dlaczego na strunie powstają tylko określone częstotliwości?

Na zamocowanych końcach struna nie może się poruszać, dlatego na długości L musi zmieścić się całkowita liczba półfal: L = n·λ/2. Stąd długości fal λₙ = 2L/n i częstotliwości fₙ = n·v/(2L). Inne częstotliwości nie dają stabilnego obrazu i szybko zanikają.

Czym węzeł różni się od strzałki?

W węźle wychylenie struny jest zawsze zerowe, w strzałce jest maksymalne. Odległość między sąsiednimi węzłami i między sąsiednimi strzałkami wynosi λ/2. Koniec zamocowany jest zawsze węzłem, a koniec swobodny zawsze strzałką.

Jak obliczyć częstotliwość podstawową struny?

Najpierw znajdź prędkość fali v = √(T/μ), gdzie T to naciąg w niutonach, a μ to gęstość liniowa w kg/m. Dla struny z dwoma zamocowanymi końcami f₁ = v/(2L). Dlatego krótsza, bardziej napięta i lżejsza struna brzmi wyżej. Kalkulator na stronie robi to automatycznie.

Czy fala stojąca przenosi energię?

Średnio nie: fala padająca i odbita przenoszą równe strumienie energii w przeciwnych kierunkach, więc strumień wypadkowy jest zerowy. Energia przechodzi między kinetyczną (w okolicy strzałek) a potencjalną (odkształcenie przy węzłach), ale nie płynie wzdłuż struny.