∿ Ondes stationnaires

Modes de vibration d’une corde : nœuds et ventres, ondes progressives qui composent l’onde stationnaire, série harmonique et calculateur pour cordes réelles.

Mode n3

Amplitude0.60

Amortissement0.020

Vitesse de l’animation×1.0

Affichage :

Extrémités :

Fréquence d’animation :

Mode :

Exemples :

Enveloppe Marquer les ventres

Paramètres du mode choisi

—

Mode n

—

Nœuds (avec extrémités)

—

Ventres

—

Longueur d’onde λ_n (L — longueur de la corde)

—

Fréquence f_n

—

Régime de vibration

Extrémités fixes : λ_n = 2L / n, f_n = n · v / 2L = n · f₁
Une extrémité libre : λ_n = 4L / (2n − 1), f_n = (2n − 1) · v / 4L
Vitesse de l’onde sur la corde : v = √(T / μ)

Une onde stationnaire apparaît lorsqu’une onde qui se propage le long de la corde se réfléchit à l’extrémité et se superpose à l’onde incidente. Dans la vue « Composantes progressives », on voit les deux ondes (la violette va vers la droite, l’orange vers la gauche), tandis que leur somme, la courbe bleue, ne se déplace pas le long de la corde.
Les points jaunes sont les nœuds, où la corde ne bouge pas. Entre les nœuds se trouvent les ventres, d’amplitude maximale. Une extrémité fixe est toujours un nœud, une extrémité libre toujours un ventre.
En mode « Libres » (comme dans l’original), une corde pincée s’amortit selon la loi e^−γt : pour γ = 0,02, l’amplitude est divisée par e en 50 s environ. Changer de mode excite de nouveau la corde. En mode « Forcées », l’amplitude reste stable, comme si une force extérieure à la fréquence de résonance entretenait le mode.
La vue « Tous les harmoniques » montre les huit premiers modes simultanément. Par défaut, tous oscillent à la même vitesse, comme dans l’original (cos 2,2·t, période 2,86 s). Le mode « Proportionnelle à n » montre la dépendance physique f_n ∝ n : chaque mode suivant oscille plus vite et possède un nœud de plus.
Le bouton « Son » joue une note de fréquence f_n pour f₁ = 110 Hz (la note la) : pour n = 4, cela donne 440 Hz.

Saisissez les paramètres d’une corde réelle : longueur, tension et masse linéique. Vous obtiendrez la vitesse de l’onde, la fréquence fondamentale, les fréquences des harmoniques et la position des nœuds.

Longueur de la corde L, m

Tension T, N

Masse linéique μ, g/m

Rang de l’harmonique n

Extrémités de la corde

Exemples :

—

Vitesse de l’onde v, m/s

—

Fréquence fondamentale f₁, Hz

—

Fréquence f_n, Hz

—

Longueur d’onde λ_n, m

—

Nœuds / ventres

—

Nœuds depuis l’extrémité fixe, m

v = √(T / μ), f₁ = v / 2L (extrémités fixes) ou v / 4L (une libre)
f_n = n · f₁ (fixes) ou (2n − 1) · f₁ (une libre)

Série harmonique : extrémités fixes et une extrémité libre

n	Fixes : f / f₁	Nœuds	Ventres	Une libre : f / f₁	Nœuds	Ventres
1	1	2	1	1	1	1
2	2	3	2	3	2	2
3	3	4	3	5	3	3
4	4	5	4	7	4	4
5	5	6	5	9	5	5
6	6	7	6	11	6	6

Ondes stationnaires sur une corde en ligne : simulation et calculateur d’harmoniques

Un outil interactif gratuit qui montre comment naissent les ondes stationnaires sur une corde. Choisissez le numéro du mode, l’amplitude et l’amortissement, observez les nœuds et les ventres, décomposez l’onde stationnaire en deux ondes progressives et comparez les huit premiers harmoniques. Vous pouvez fixer les deux extrémités ou en laisser une libre, activer le son et calculer la fréquence fondamentale et les harmoniques d’une vraie corde de guitare, de violon ou de toute autre corde.

Notions clés

Nœuds et ventres

Aux nœuds, la corde est immobile ; aux ventres, elle vibre avec l’amplitude maximale. La distance entre deux nœuds voisins est égale à une demi-longueur d’onde.

n = 4 → 5 nœuds, 4 ventres

Harmoniques

Les modes d’une corde à extrémités fixes ont des fréquences multiples de la fréquence fondamentale. C’est l’ensemble des harmoniques qui détermine le timbre de l’instrument.

f_n = n · f₁

Vitesse de l’onde sur la corde

Elle dépend de la tension et de la masse linéique : plus la corde est tendue et légère, plus l’onde est rapide et plus le son est aigu.

v = √(T / μ)

Où on l’utilise

Instruments à cordes : guitare, violon, piano, harpe
Instruments à vent et tuyaux d’orgue (ondes de pression stationnaires dans une colonne d’air)
Résonateurs des lasers et des fours à micro-ondes
Accord des instruments et calcul des cordes selon la tension
Mécanique quantique : les états stationnaires d’une particule dans un puits de potentiel sont analogues aux modes d’une corde
Travaux pratiques d’acoustique et de physique des ondes

Comment l’utiliser

Déplacez le curseur « Mode n » et comptez les nœuds et les ventres
Passez à la vue « Composantes progressives » pour voir de quelles ondes se compose l’onde stationnaire
Activez « Tous les harmoniques » et comparez les fréquences des différents modes
Choisissez « Extrémité droite libre » et observez comment change la série d’harmoniques
Appuyez sur « Son » pour entendre la note du mode choisi
Dans l’onglet « Calculateur », saisissez la longueur, la tension et la masse linéique de votre corde

Questions fréquentes

Qu’est-ce qu’une onde stationnaire ?

C’est une oscillation dans laquelle la forme de l’onde ne se propage pas le long du milieu mais reste en place : aux nœuds immobiles l’amplitude est nulle, et entre eux les ventres oscillent avec l’amplitude maximale. Une onde stationnaire résulte de la somme de deux ondes identiques qui se propagent en sens inverse.

Pourquoi seules certaines fréquences existent-elles sur une corde ?

Aux extrémités fixes, la corde ne peut pas bouger ; il faut donc qu’un nombre entier de demi-ondes tienne sur la longueur L : L = n·λ/2. D’où les longueurs d’onde λₙ = 2L/n et les fréquences fₙ = n·v/(2L). Les autres fréquences ne donnent pas de figure stable et s’éteignent vite.

En quoi un nœud diffère-t-il d’un ventre ?

Au nœud, le déplacement de la corde est toujours nul ; au ventre, il est maximal. La distance entre deux nœuds voisins, comme entre deux ventres voisins, vaut λ/2. Une extrémité fixe est toujours un nœud, une extrémité libre toujours un ventre.

Comment calculer la fréquence fondamentale d’une corde ?

Déterminez d’abord la vitesse de l’onde v = √(T/μ), où T est la tension en newtons et μ la masse linéique en kg/m. Pour une corde à deux extrémités fixes, f₁ = v/(2L). Une corde plus courte, plus tendue et plus légère sonne donc plus aigu. Le calculateur de cette page le fait automatiquement.

Une onde stationnaire transporte-t-elle de l’énergie ?

En moyenne, non : les ondes incidente et réfléchie transportent des flux d’énergie égaux dans des sens opposés, il n’y a donc pas de flux net. L’énergie passe de la forme cinétique (au niveau des ventres) à la forme potentielle (déformation près des nœuds), mais ne circule pas le long de la corde.