∿ Stehende Wellen

Schwingungsmoden einer Saite: Knoten und Schwingungsbäuche, die laufenden Wellen, aus denen die stehende Welle besteht, die Obertonreihe und ein Rechner für reale Saiten.

Mode n3

Amplitude0.60

Dämpfung0.020

Animationsgeschwindigkeit×1.0

Ansicht:

Enden:

Animationsfrequenz:

Modus:

Beispiele:

Einhüllende Schwingungsbäuche markieren

Parameter der gewählten Mode

—

Mode n

—

Knoten (mit Enden)

—

Schwingungsbäuche

—

Wellenlänge λ_n (L — Saitenlänge)

—

Frequenz f_n

—

Schwingungsart

Feste Enden: λ_n = 2L / n, f_n = n · v / 2L = n · f₁
Ein Ende frei: λ_n = 4L / (2n − 1), f_n = (2n − 1) · v / 4L
Wellengeschwindigkeit auf der Saite: v = √(T / μ)

Eine stehende Welle entsteht, wenn eine entlang der Saite laufende Welle am Ende reflektiert wird und sich mit der einfallenden Welle überlagert. In der Ansicht „Laufende Teilwellen“ sind beide Wellen zu sehen (die violette läuft nach rechts, die orangefarbene nach links), ihre Summe, die blaue Kurve, bewegt sich dagegen nicht entlang der Saite.
Gelbe Punkte sind Knoten, an denen sich die Saite nicht bewegt. Zwischen den Knoten liegen Schwingungsbäuche mit dem größten Ausschlag. Ein festes Ende ist immer ein Knoten, ein freies Ende immer ein Schwingungsbauch.
Im Modus „Frei“ (wie im Original) klingt eine angeschlagene Saite nach dem Gesetz e^−γt ab: Bei γ = 0,02 sinkt die Amplitude in etwa 50 s auf das 1/e-Fache. Ein Moduswechsel regt die Saite neu an. Im Modus „Erzwungen“ bleibt die Amplitude konstant, als würde eine äußere Kraft mit der Resonanzfrequenz die Mode aufrechterhalten.
Die Ansicht „Alle Oberschwingungen“ zeigt die ersten acht Moden gleichzeitig. Standardmäßig schwingen alle gleich schnell, wie im Original (cos 2,2·t, Periode 2,86 s). Der Modus „Proportional zu n“ zeigt die physikalische Abhängigkeit f_n ∝ n: Jede folgende Mode schwingt schneller und hat einen Knoten mehr.
Die Schaltfläche „Ton“ spielt einen Ton mit der Frequenz f_n bei f₁ = 110 Hz (der Ton A): Bei n = 4 sind das 440 Hz.

Geben Sie die Parameter einer realen Saite ein: Länge, Spannkraft und lineare Dichte. Sie erhalten die Wellengeschwindigkeit, die Grundfrequenz, die Frequenzen der Oberschwingungen und die Lage der Knoten.

Saitenlänge L, m

Spannkraft T, N

Lineare Dichte μ, g/m

Nummer der Oberschwingung n

Saitenenden

Beispiele:

—

Wellengeschwindigkeit v, m/s

—

Grundfrequenz f₁, Hz

—

Frequenz f_n, Hz

—

Wellenlänge λ_n, m

—

Knoten / Schwingungsbäuche

—

Knoten ab dem festen Ende, m

v = √(T / μ), f₁ = v / 2L (feste Enden) oder v / 4L (ein Ende frei)
f_n = n · f₁ (fest) oder (2n − 1) · f₁ (ein Ende frei)

Obertonreihe: feste Enden und ein freies Ende

n	Fest: f / f₁	Knoten	Schwingungsbäuche	Ein Ende frei: f / f₁	Knoten	Schwingungsbäuche
1	1	2	1	1	1	1
2	2	3	2	3	2	2
3	3	4	3	5	3	3
4	4	5	4	7	4	4
5	5	6	5	9	5	5
6	6	7	6	11	6	6

Stehende Wellen auf einer Saite online: Simulation und Oberschwingungsrechner

Ein kostenloses interaktives Werkzeug, das zeigt, wie auf einer Saite stehende Wellen entstehen. Wählen Sie Modennummer, Amplitude und Dämpfung, betrachten Sie Knoten und Schwingungsbäuche, zerlegen Sie die stehende Welle in zwei laufende Wellen und vergleichen Sie die ersten acht Oberschwingungen. Sie können beide Enden festhalten oder eines frei lassen, den Ton einschalten und die Grundfrequenz samt Oberschwingungen für eine reale Gitarren-, Geigen- oder beliebige andere Saite berechnen.

Schlüsselbegriffe

Knoten und Schwingungsbäuche

In den Knoten ruht die Saite, in den Schwingungsbäuchen schwingt sie mit der größten Amplitude. Der Abstand zwischen benachbarten Knoten beträgt eine halbe Wellenlänge.

n = 4 → 5 Knoten, 4 Schwingungsbäuche

Oberschwingungen

Die Moden einer Saite mit festen Enden haben Frequenzen, die ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz sind. Gerade die Menge der Oberschwingungen bestimmt den Klang eines Instruments.

f_n = n · f₁

Wellengeschwindigkeit auf der Saite

Sie hängt von Spannkraft und linearer Dichte ab: Je stärker gespannt und leichter die Saite, desto schneller die Welle und desto höher der Ton.

v = √(T / μ)

Wo es angewendet wird

Saiteninstrumente: Gitarre, Geige, Klavier, Harfe
Blasinstrumente und Orgelpfeifen (stehende Druckwellen in einer Luftsäule)
Resonatoren von Lasern und Mikrowellenherden
Stimmen von Instrumenten und Berechnung von Saiten nach der Spannkraft
Quantenmechanik: Die stationären Zustände eines Teilchens im Potentialtopf sind analog zu den Moden einer Saite
Laborpraktika zur Akustik und Wellenphysik

So funktioniert’s

Bewegen Sie den Regler „Mode n“ und zählen Sie Knoten und Schwingungsbäuche
Schalten Sie die Ansicht auf „Laufende Teilwellen“, um zu sehen, aus welchen Wellen die stehende Welle besteht
Aktivieren Sie „Alle Oberschwingungen“ und vergleichen Sie die Frequenzen verschiedener Moden
Wählen Sie „Rechtes Ende frei“ und beobachten Sie, wie sich die Obertonreihe ändert
Drücken Sie „Ton“, um den Ton der gewählten Mode zu hören
Geben Sie im Reiter „Rechner“ Länge, Spannkraft und Dichte Ihrer Saite ein

Häufige Fragen

Was ist eine stehende Welle?

Das ist eine Schwingung, bei der das Wellenbild nicht entlang des Mediums läuft, sondern an Ort und Stelle bleibt: In den ruhenden Knoten ist die Amplitude null, dazwischen schwingen die Schwingungsbäuche mit maximalem Ausschlag. Eine stehende Welle entsteht als Summe zweier gleicher, einander entgegenlaufender Wellen.

Warum treten auf einer Saite nur bestimmte Frequenzen auf?

An festen Enden kann sich die Saite nicht bewegen, daher muss auf die Länge L eine ganze Zahl von Halbwellen passen: L = n·λ/2. Daraus folgen die Wellenlängen λₙ = 2L/n und die Frequenzen fₙ = n·v/(2L). Andere Frequenzen ergeben kein stabiles Bild und klingen schnell ab.

Wodurch unterscheidet sich ein Knoten von einem Schwingungsbauch?

Im Knoten ist die Auslenkung der Saite immer null, im Schwingungsbauch ist sie maximal. Der Abstand zwischen benachbarten Knoten und zwischen benachbarten Schwingungsbäuchen beträgt λ/2. Ein festes Ende ist immer ein Knoten, ein freies Ende immer ein Schwingungsbauch.

Wie berechnet man die Grundfrequenz einer Saite?

Bestimmen Sie zuerst die Wellengeschwindigkeit v = √(T/μ), wobei T die Spannkraft in Newton und μ die lineare Dichte in kg/m ist. Für eine Saite mit zwei festen Enden gilt f₁ = v/(2L). Deshalb klingt eine kürzere, straffere und leichtere Saite höher. Der Rechner auf dieser Seite erledigt das automatisch.

Transportiert eine stehende Welle Energie?

Im Mittel nein: Einfallende und reflektierte Welle transportieren gleich große Energieströme in entgegengesetzte Richtungen, daher gibt es keinen Nettostrom. Die Energie wandelt sich zwischen kinetischer (im Bereich der Schwingungsbäuche) und potentieller (Verformung nahe den Knoten) um, fließt aber nicht entlang der Saite.