∿ Стоящи вълни

Модове на трептене на струна: възли и пучности, бягащи вълни, от които се състои стоящата, хармоничен ред и калкулатор за реални струни.

Мод n3

Амплитуда0.60

Затихване0.020

Скорост на анимацията×1.0

Изглед:

Краища:

Честота на анимацията:

Режим:

Примери:

Обвивка Отбележи пучностите

Параметри на избрания мод

—

Мод n

—

Възли (с краищата)

—

Пучности

—

Дължина на вълната λ_n (L — дължина на струната)

—

Честота f_n

—

Режим на трептене

Закрепени краища: λ_n = 2L / n, f_n = n · v / 2L = n · f₁
Един край свободен: λ_n = 4L / (2n − 1), f_n = (2n − 1) · v / 4L
Скорост на вълната по струна: v = √(T / μ)

Стояща вълна възниква, когато вълна, бягаща по струната, се отразява от края и се наслагва върху падащата. В изглед «Бягащи съставки» се виждат и двете вълни (виолетовата върви надясно, оранжевата наляво), а сборът им, синята крива, не се движи по струната.
Жълтите точки са възли, където струната не се движи. Между възлите са пучностите с най-голям размах. Закрепеният край винаги е възел, а свободният край винаги е пучност.
В режим «Свободни» (както в оригинала) «ударената» струна затихва по закона e^−γt: при γ = 0,02 амплитудата намалява e пъти приблизително за 50 с. Смяната на мода възбужда струната наново. В режим «Принудени» амплитудата е устойчива, сякаш модът се поддържа от външна сила с резонансна честота.
Изгледът «Всички хармоници» показва първите осем мода едновременно. По подразбиране всички трептят с еднаква скорост, както в оригинала (cos 2,2·t, период 2,86 с). Режимът «Пропорционална на n» показва физичната зависимост f_n ∝ n: всеки следващ мод трепти по-бързо и има с един възел повече.
Бутонът «Звук» възпроизвежда тон с честота f_n при f₁ = 110 Hz (нота ла): при n = 4 това е 440 Hz.

Въведете параметрите на реална струна: дължина, опъване и линейна плътност. Ще получите скоростта на вълната, основната честота, честотите на хармониците и положението на възлите.

Дължина на струната L, м

Опъване T, N

Линейна плътност μ, g/m

Номер на хармоника n

Краища на струната

Примери:

—

Скорост на вълната v, м/с

—

Основна честота f₁, Hz

—

Честота f_n, Hz

—

Дължина на вълната λ_n, м

—

Възли / пучности

—

Възли от закрепения край, м

v = √(T / μ), f₁ = v / 2L (закрепени краища) или v / 4L (един свободен)
f_n = n · f₁ (закрепени) или (2n − 1) · f₁ (един свободен)

Хармоничен ред: закрепени краища и един свободен край

n	Закрепени: f / f₁	Възли	Пучности	Един свободен: f / f₁	Възли	Пучности
1	1	2	1	1	1	1
2	2	3	2	3	2	2
3	3	4	3	5	3	3
4	4	5	4	7	4	4
5	5	6	5	9	5	5
6	6	7	6	11	6	6

Стоящи вълни върху струна онлайн: симулация и калкулатор на хармоници

Безплатен интерактивен инструмент, който показва как във струната възникват стоящи вълни. Избирайте номер на мод, амплитуда и затихване, разглеждайте възлите и пучностите, разлагайте стоящата вълна на две бягащи и сравнявайте първите осем хармоника. Можете да закрепите двата края или да оставите единия свободен, да включите звука и да изчислите основната честота и хармониците за реална китарна, цигулкова или всякаква друга струна.

Ключови понятия

Възли и пучности

Във възлите струната е неподвижна, в пучностите трепти с най-голяма амплитуда. Разстоянието между съседни възли е равно на половината от дължината на вълната.

n = 4 → 5 възела, 4 пучности

Хармоници

Модовете на струна със закрепени краища имат честоти, кратни на основната. Именно наборът от хармоници определя тембъра на инструмента.

f_n = n · f₁

Скорост на вълната по струна

Зависи от опъването и линейната плътност: колкото по-силно е опъната и по-лека е струната, толкова по-бърза е вълната и по-висок е тонът.

v = √(T / μ)

Къде се прилага

Струнни музикални инструменти: китара, цигулка, пиано, арфа
Духови инструменти и органни тръби (стоящи вълни на налягането във въздушен стълб)
Резонатори на лазери и микровълнови фурни
Настройване на инструменти и изчисляване на струни по опъване
Квантова механика: стационарните състояния на частица в потенциална яма са аналогични на модовете на струна
Лабораторни упражнения по акустика и вълнова физика

Как се използва

Движете плъзгача «Мод n» и броете възлите и пучностите
Превключете изгледа на «Бягащи съставки», за да видите от какви вълни се състои стоящата
Включете «Всички хармоници» и сравнете честотите на различните модове
Изберете «Десният край е свободен» и вижте как се променя хармоничният ред
Натиснете «Звук», за да чуете тона на избрания мод
В раздела «Калкулатор» въведете дължината, опъването и плътността на вашата струна

Често задавани въпроси

Какво е стояща вълна?

Това е трептене, при което формата на вълната не бяга по средата, а остава на място: във неподвижните възли амплитудата е нула, а между тях пучностите трептят с максимален размах. Стоящата вълна възниква като сбор от две еднакви вълни, бягащи една срещу друга.

Защо върху струната възникват само определени честоти?

На закрепените краища струната не може да се движи, затова по дължината L трябва да се събере цяло число полувълни: L = n·λ/2. Оттук дължините на вълните са λₙ = 2L/n, а честотите fₙ = n·v/(2L). Другите честоти не дават устойчива картина и бързо затихват.

С какво възелът се различава от пучността?

Във възела отклонението на струната винаги е нула, а в пучността е максимално. Разстоянието между съседни възли и между съседни пучности е λ/2. Закрепеният край винаги е възел, а свободният край винаги е пучност.

Как се изчислява основната честота на струна?

Първо намерете скоростта на вълната v = √(T/μ), където T е опъването в нютони, μ е линейната плътност в kg/m. За струна с два закрепени края f₁ = v/(2L). Затова по-късата, силно опъната и лека струна звучи по-високо. Калкулаторът на страницата прави това автоматично.

Пренася ли стоящата вълна енергия?

Средно не: падащата и отразената вълна пренасят равни потоци енергия в противоположни посоки, затова няма нетен поток. Енергията преминава между кинетична (около пучностите) и потенциална (деформация край възлите), но не тече по струната.