⌁ Резонанс
Пружинний маятник під дією періодичної сили: симуляція вимушених коливань, крива резонансу, добротність і калькулятор у реальних одиницях.
Власна частота f₀1,60
Частота сили f1,50
Згасання γ0,08
Амплітуда сили F₀0,90
Швидкість анімації×1,0
Приклади:
Усталений режим
—
Власна частота f₀
—
Частота сили f
—
Усталена амплітуда A
—
Підсилення A / Aстат
—
Добротність Q = ω₀ / 2γ
—
Відставання по фазі φ
Рівняння: x″ + 2γ x′ + ω₀² x = F₀ cos Ωt, ω₀ = 2π f₀, Ω = 2π f
Усталена амплітуда: A = F₀ / √((ω₀² − Ω²)² + (2γΩ)²) Фаза: tg φ = 2γΩ / (ω₀² − Ω²)
На резонансі: A ≈ F₀ / (2γ ω₀) = Q · Aстат, де Aстат = F₀ / ω₀²
Усталена амплітуда: A = F₀ / √((ω₀² − Ω²)² + (2γΩ)²) Фаза: tg φ = 2γΩ / (ω₀² − Ω²)
На резонансі: A ≈ F₀ / (2γ ω₀) = Q · Aстат, де Aстат = F₀ / ω₀²
- Тягарець на пружині рухається за рівнянням вимушених згасаючих коливань. Блакитна стрілка над ним це зовнішня сила: вона змінюється з частотою f. Спочатку тягарець зміщений на 0,6, тож перші секунди видно перехідний процес, у якому додаються власні й вимушені коливання.
- Зелена крива праворуч показує, якою була б усталена амплітуда при різних частотах сили. Жовта точка це поточна частота f, а жовтий пунктир позначає f₀. Чим слабше згасання, тим вищий і вужчий пік.
- Графік у часі (помаранчева лінія це зміщення, блакитна це сила) показує зсув по фазі: далеко від резонансу тягарець рухається разом із силою або проти неї, на резонансі відстає на чверть періоду (90°).
- Частоти тут у відносних одиницях зі швидкістю симуляції, як в оригіналі. Для реальних систем користуйтеся вкладкою «Калькулятор».
Введіть параметри пружинної системи: масу, жорсткість пружини, коефіцієнт опору, амплітуду зовнішньої сили та її частоту. Отримаєте власну частоту, добротність, амплітуду та зсув фази.
Маса m, кг
Жорсткість пружини k, Н/м
Коефіцієнт опору b, кг/с
Амплітуда сили F₀, Н
Частота сили f, Гц
Приклади:
—
Власна частота f₀, Гц
—
Добротність Q
—
Амплітуда на частоті f, см
—
Амплітуда в піку, см
—
Відставання по фазі φ, °
—
Ширина піка Δf ≈ γ / π, Гц
f₀ = (1 / 2π) · √(k / m), γ = b / 2m, Q = ω₀ / 2γ = √(km) / b
A(f) = (F₀ / m) / √((ω₀² − Ω²)² + (2γΩ)²), пік при Ω = √(ω₀² − 2γ²)
A(f) = (F₀ / m) / √((ω₀² − Ω²)² + (2γΩ)²), пік при Ω = √(ω₀² − 2γ²)
Добротність і форма резонансу
| Q | Підсилення в піку A / Aстат | Ширина піка Δf / f₀ | Приклад (якісно) |
|---|---|---|---|
| 1 | ≈ 1,15 | ≈ 1,00 | сильне згасання: амортизатор, дверний доводжувач |
| 2 | ≈ 2,07 | ≈ 0,50 | помірне: підвіска автомобіля |
| 5 | ≈ 5,03 | ≈ 0,20 | слабке: гойдалка |
| 10 | ≈ 10,0 | ≈ 0,100 | гітарна струна, корпус інструмента |
| 20 | ≈ 20,0 | ≈ 0,050 | коливальний контур приймача |
| 50 | ≈ 50,0 | ≈ 0,020 | камертон, кварцовий резонатор, ще вища Q |
Резонанс онлайн: симуляція вимушених коливань і калькулятор
Безкоштовний інтерактивний інструмент, що показує, чому коливальна система сильно реагує на силу з частотою, близькою до власної. Тягарець на пружині рухається під дією періодичної сили, а праворуч будується крива резонансу з позначкою вашої частоти. Змінюйте власну частоту, частоту й амплітуду сили та згасання, дивіться зсув фази й добротність. Калькулятор у реальних одиницях рахує f₀, Q, амплітуду та ширину піка для заданих маси, пружини й опору.
Ключові поняття
Резонанс
Різке зростання амплітуди вимушених коливань, коли частота зовнішньої сили наближається до власної частоти системи.
f ≈ f₀ → A максимальна
Добротність Q
Показує, наскільки слабко згасає система. Чим вища Q, тим вищий і вужчий резонансний пік та довше триває вільне коливання.
Q = ω₀ / 2γ
Зсув фази
Тягарець відстає від сили: майже не відстає при низьких частотах, на резонансі відстає на 90°, а при високих частотах рухається в протифазі.
φ = 90° при f = f₀
Де це застосовують
- Радіоприймачі та коливальні контури: налаштування на частоту станції
- Музичні інструменти: корпус гітари чи скрипки підсилює певні частоти
- Підвіска автомобіля та віброізоляція обладнання, де резонанс треба обходити
- Магнітно-резонансна томографія та ядерний магнітний резонанс
- Будівлі й мости: розрахунок власних частот і демпферів
- Лабораторні роботи з механічних коливань
Як користуватись
- Подивіться на стан за замовчуванням: частота сили трохи нижча за власну, амплітуда мала
- Рухайте повзунок частоти сили до жовтої позначки f₀: тягарець розгойдується, жовта точка піднімається на вершину зеленого піка
- Збільшіть згасання: пік стає нижчим і ширшим
- Спробуйте слабке згасання та частоту поряд із f₀, щоб побачити биття
- У вкладці «Калькулятор» введіть масу, жорсткість і опір своєї системи
Часті запитання
Що таке резонанс простими словами?
Це різке зростання амплітуди коливань, коли зовнішня сила змінюється з частотою, близькою до власної частоти системи. Як гойдалку розгойдують у такт її власним коливанням: невеликі поштовхи, що збігаються за фазою, додаються й дають великий розмах.
Чому амплітуда на резонансі не нескінченна?
Через згасання. Опір забирає енергію, і при певній амплітуді втрати за період зрівнюються з роботою зовнішньої сили. На резонансі амплітуда приблизно F₀/(2γω₀), тобто тим більша, чим менше згасання.
Що таке добротність Q?
Це відношення Q = ω₀/(2γ). Воно показує, у скільки разів амплітуда в піку перевищує статичне зміщення F₀/ω₀², а також наскільки вузький пік: його ширина приблизно f₀/Q. Висока Q означає слабке згасання.
Чому на резонансі зсув фази дорівнює 90°?
Для вимушених коливань швидкість тягарця збігається за фазою із силою, а зміщення відстає від швидкості на чверть періоду. Тому саме на частоті f₀ зміщення відстає від сили на 90°. Нижче резонансу зсув менший, вище прямує до 180°.
Чи завжди резонанс руйнує мости й будівлі?
Ні. Резонанс небезпечний, коли частота зовнішньої дії збігається з власною частотою конструкції, а згасання мале. Тому інженери рахують власні частоти й ставлять демпфери. Відомий обвал мосту в Такомі у підручниках часто наводять як приклад, але насправді там був аеропружний флатер, а не звичайний резонанс від поштовхів.