⌁ Резонанца
Опружно клатно под дејством периодичне силе: симулација принудних осцилација, резонантна крива, фактор доброте и калкулатор у стварним јединицама.
Сопствена учестаност f₀1,60
Учестаност силе f1,50
Пригушење γ0,08
Амплитуда силе F₀0,90
Брзина анимације×1,0
Примери:
Стационарни режим
—
Сопствена учестаност f₀
—
Учестаност силе f
—
Стационарна амплитуда A
—
Појачање A / Aст
—
Фактор доброте Q = ω₀ / 2γ
—
Фазно заостајање φ
Једначина: x″ + 2γ x′ + ω₀² x = F₀ cos Ωt, ω₀ = 2π f₀, Ω = 2π f
Стационарна амплитуда: A = F₀ / √((ω₀² − Ω²)² + (2γΩ)²) Фаза: tg φ = 2γΩ / (ω₀² − Ω²)
У резонанци: A ≈ F₀ / (2γ ω₀) = Q · Aст, где је Aст = F₀ / ω₀²
Стационарна амплитуда: A = F₀ / √((ω₀² − Ω²)² + (2γΩ)²) Фаза: tg φ = 2γΩ / (ω₀² − Ω²)
У резонанци: A ≈ F₀ / (2γ ω₀) = Q · Aст, где је Aст = F₀ / ω₀²
- Тег на опрузи креће се по једначини принудних пригушених осцилација. Светлоплава стрелица изнад њега је спољашња сила: она се мења с учестаношћу f. На почетку је тег померен за 0,6, па се првих секунди види прелазни процес у коме се сабирају сопствене и принудне осцилације.
- Зелена крива здесна показује каква би била стационарна амплитуда при различитим учестаностима силе. Жута тачка је тренутна учестаност f, а жута испрекидана линија означава f₀. Што је пригушење слабије, пик је виши и ужи.
- График у времену (наранџаста линија је елонгација, светлоплава је сила) показује фазни помак: далеко од резонанце тег се креће заједно са силом или супротно њој, а у резонанци заостаје четвртину периоде (90°).
- Учестаности су овде у релативним јединицама са брзином симулације, као у оригиналу. За стварне системе користите картицу «Калкулатор».
Унесите параметре опружног система: масу, крутост опруге, коефицијент отпора, амплитуду спољашње силе и њену учестаност. Добићете сопствену учестаност, фактор доброте, амплитуду и фазни помак.
Маса m, kg
Крутост опруге k, N/m
Коефицијент отпора b, kg/s
Амплитуда силе F₀, N
Учестаност силе f, Hz
Примери:
—
Сопствена учестаност f₀, Hz
—
Фактор доброте Q
—
Амплитуда на учестаности f, cm
—
Амплитуда у пику, cm
—
Фазно заостајање φ, °
—
Ширина пика Δf ≈ γ / π, Hz
f₀ = (1 / 2π) · √(k / m), γ = b / 2m, Q = ω₀ / 2γ = √(km) / b
A(f) = (F₀ / m) / √((ω₀² − Ω²)² + (2γΩ)²), пик при Ω = √(ω₀² − 2γ²)
A(f) = (F₀ / m) / √((ω₀² − Ω²)² + (2γΩ)²), пик при Ω = √(ω₀² − 2γ²)
Фактор доброте и облик резонанце
| Q | Појачање у пику A / Aст | Ширина пика Δf / f₀ | Пример (квалитативно) |
|---|---|---|---|
| 1 | ≈ 1,15 | ≈ 1,00 | јако пригушење: амортизер, врата са хидрауличним затварачем |
| 2 | ≈ 2,07 | ≈ 0,50 | умерено: вешање аутомобила |
| 5 | ≈ 5,03 | ≈ 0,20 | слабо: љуљашка |
| 10 | ≈ 10,0 | ≈ 0,100 | гитарска жица, тело инструмента |
| 20 | ≈ 20,0 | ≈ 0,050 | осцилаторно коло пријемника |
| 50 | ≈ 50,0 | ≈ 0,020 | камертон, кварцни резонатор, још виши Q |
Резонанца онлајн: симулација принудних осцилација и калкулатор
Бесплатан интерактивни алат који показује зашто осцилаторни систем снажно реагује на силу чија је учестаност блиска сопственој. Тег на опрузи креће се под дејством периодичне силе, а здесна се црта резонантна крива са ознаком ваше учестаности. Мењајте сопствену учестаност, учестаност и амплитуду силе и пригушење, посматрајте фазни помак и фактор доброте. Калкулатор у стварним јединицама рачуна f₀, Q, амплитуду и ширину пика за задате масу, опругу и отпор.
Кључни појмови
Резонанца
Нагли раст амплитуде принудних осцилација када се учестаност спољашње силе приближава сопственој учестаности система.
f ≈ f₀ → A је максимална
Фактор доброте Q
Показује колико слабо се систем пригушује. Што је Q већи, резонантни пик је виши и ужи, а слободно осциловање траје дуже.
Q = ω₀ / 2γ
Фазни помак
Тег заостаје за силом: при ниским учестаностима готово не заостаје, у резонанци заостаје 90°, а при високим учестаностима креће се у противфази.
φ = 90° при f = f₀
Где се примењује
- Радио-пријемници и осцилаторна кола: подешавање на учестаност станице
- Музички инструменти: тело гитаре или виолине појачава одређене учестаности
- Вешање аутомобила и виброизолација опреме, где резонанцу треба заобићи
- Магнетна резонанција и нуклеарна магнетна резонанца
- Зграде и мостови: прорачун сопствених учестаности и пригушивача
- Лабораторијске вежбе из механичких осцилација
Како користити
- Погледајте подразумевано стање: учестаност силе је нешто нижа од сопствене, амплитуда је мала
- Померајте клизач учестаности силе ка жутој ознаци f₀: тег се замахује, жута тачка се пење на врх зеленог пика
- Повећајте пригушење: пик постаје нижи и шири
- Пробајте слабо пригушење и учестаност близу f₀ да бисте видели лупање
- У картици «Калкулатор» унесите масу, крутост и отпор свог система
Често постављана питања
Шта је резонанца једноставним речима?
То је нагли раст амплитуде осцилација када се спољашња сила мења с учестаношћу блиском сопственој учестаности система. Као када се љуљашка залула у такт њеним сопственим осцилацијама: мали гурајући импулси који се поклапају по фази сабирају се и дају велики замах.
Зашто амплитуда у резонанци није бесконачна?
Због пригушења. Отпор одузима енергију и при одређеној амплитуди губици у току периоде изједначавају се с радом спољашње силе. У резонанци је амплитуда приближно F₀/(2γω₀), дакле већа је што је пригушење мање.
Шта је фактор доброте Q?
То је однос Q = ω₀/(2γ). Он показује колико пута амплитуда у пику премашује статичку елонгацију F₀/ω₀², а и колико је пик узак: његова ширина је приближно f₀/Q. Висок Q значи слабо пригушење.
Зашто је у резонанци фазни помак 90°?
Код принудних осцилација брзина тега поклапа се по фази са силом, а елонгација заостаје за брзином четвртину периоде. Зато баш на учестаности f₀ елонгација заостаје за силом 90°. Испод резонанце помак је мањи, изнад тежи ка 180°.
Да ли резонанца увек руши мостове и зграде?
Не. Резонанца је опасна када се учестаност спољашњег дејства поклапа са сопственом учестаношћу конструкције, а пригушење је мало. Зато инжењери рачунају сопствене учестаности и постављају пригушиваче. Познати слом моста у Такоми у уџбеницима се често наводи као пример, али је ту заправо био аероеластични флатер, а не обична резонанца од гурања.