⌁ Резонанс

Пружинный маятник под действием периодической силы: симуляция вынужденных колебаний, резонансная кривая, добротность и калькулятор в реальных единицах.

Собственная частота f₀1,60

Частота силы f1,50

Затухание γ0,08

Амплитуда силы F₀0,90

Скорость анимации×1,0

Примеры:

График во времени

Установившийся режим

—

Собственная частота f₀

—

Частота силы f

—

Установившаяся амплитуда A

—

Усиление A / A_ст

—

Добротность Q = ω₀ / 2γ

—

Отставание по фазе φ

Уравнение: x″ + 2γ x′ + ω₀² x = F₀ cos Ωt, ω₀ = 2π f₀, Ω = 2π f
Установившаяся амплитуда: A = F₀ / √((ω₀² − Ω²)² + (2γΩ)²) Фаза: tg φ = 2γΩ / (ω₀² − Ω²)
В резонансе: A ≈ F₀ / (2γ ω₀) = Q · A_ст, где A_ст = F₀ / ω₀²

Грузик на пружине движется по уравнению вынужденных затухающих колебаний. Голубая стрелка над ним — это внешняя сила: она изменяется с частотой f. Сначала грузик смещён на 0,6, поэтому первые секунды виден переходный процесс, в котором складываются собственные и вынужденные колебания.
Зелёная кривая справа показывает, какой была бы установившаяся амплитуда при разных частотах силы. Жёлтая точка — это текущая частота f, а жёлтый пунктир отмечает f₀. Чем слабее затухание, тем выше и уже пик.
График во времени (оранжевая линия — смещение, голубая — сила) показывает сдвиг по фазе: далеко от резонанса грузик движется вместе с силой или против неё, а в резонансе отстаёт на четверть периода (90°).
Частоты здесь указаны в относительных единицах со скоростью симуляции, как в оригинале. Для реальных систем пользуйтесь вкладкой «Калькулятор».

Введите параметры пружинной системы: массу, жёсткость пружины, коэффициент сопротивления, амплитуду внешней силы и её частоту. Вы получите собственную частоту, добротность, амплитуду и сдвиг фазы.

Масса m, кг

Жёсткость пружины k, Н/м

Коэффициент сопротивления b, кг/с

Амплитуда силы F₀, Н

Частота силы f, Гц

Примеры:

—

Собственная частота f₀, Гц

—

Добротность Q

—

Амплитуда на частоте f, см

—

Амплитуда в пике, см

—

Отставание по фазе φ, °

—

Ширина пика Δf ≈ γ / π, Гц

f₀ = (1 / 2π) · √(k / m), γ = b / 2m, Q = ω₀ / 2γ = √(km) / b
A(f) = (F₀ / m) / √((ω₀² − Ω²)² + (2γΩ)²), пик при Ω = √(ω₀² − 2γ²)

Добротность и форма резонанса

Q	Усиление в пике A / A_ст	Ширина пика Δf / f₀	Пример (качественно)
1	≈ 1,15	≈ 1,00	сильное затухание: амортизатор, дверной доводчик
2	≈ 2,07	≈ 0,50	умеренное: подвеска автомобиля
5	≈ 5,03	≈ 0,20	слабое: качели
10	≈ 10,0	≈ 0,100	гитарная струна, корпус инструмента
20	≈ 20,0	≈ 0,050	колебательный контур приёмника
50	≈ 50,0	≈ 0,020	камертон, кварцевый резонатор, ещё более высокая Q

Резонанс онлайн: симуляция вынужденных колебаний и калькулятор

Бесплатный интерактивный инструмент, показывающий, почему колебательная система сильно реагирует на силу с частотой, близкой к собственной. Грузик на пружине движется под действием периодической силы, а справа строится резонансная кривая с отметкой вашей частоты. Меняйте собственную частоту, частоту и амплитуду силы и затухание, наблюдайте сдвиг фазы и добротность. Калькулятор в реальных единицах считает f₀, Q, амплитуду и ширину пика для заданных массы, пружины и сопротивления.

Ключевые понятия

Резонанс

Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний, когда частота внешней силы приближается к собственной частоте системы.

f ≈ f₀ → A максимальна

Добротность Q

Показывает, насколько слабо затухает система. Чем выше Q, тем выше и уже резонансный пик и тем дольше длятся свободные колебания.

Q = ω₀ / 2γ

Сдвиг фазы

Грузик отстаёт от силы: почти не отстаёт на низких частотах, в резонансе отстаёт на 90°, а на высоких частотах движется в противофазе.

φ = 90° при f = f₀

Где это применяют

Радиоприёмники и колебательные контуры: настройка на частоту станции
Музыкальные инструменты: корпус гитары или скрипки усиливает определённые частоты
Подвеска автомобиля и виброизоляция оборудования, где резонанса нужно избегать
Магнитно-резонансная томография и ядерный магнитный резонанс
Здания и мосты: расчёт собственных частот и демпферов
Лабораторные работы по механическим колебаниям

Как пользоваться

Посмотрите на состояние по умолчанию: частота силы немного ниже собственной, амплитуда мала
Двигайте ползунок частоты силы к жёлтой отметке f₀: грузик раскачивается, жёлтая точка поднимается на вершину зелёного пика
Увеличьте затухание: пик становится ниже и шире
Попробуйте слабое затухание и частоту рядом с f₀, чтобы увидеть биения
Во вкладке «Калькулятор» введите массу, жёсткость и сопротивление своей системы

Частые вопросы

Что такое резонанс простыми словами?

Это резкое возрастание амплитуды колебаний, когда внешняя сила изменяется с частотой, близкой к собственной частоте системы. Как качели раскачивают в такт их собственным колебаниям: небольшие толчки, совпадающие по фазе, складываются и дают большой размах.

Почему амплитуда в резонансе не бесконечна?

Из-за затухания. Сопротивление забирает энергию, и при некоторой амплитуде потери за период уравниваются с работой внешней силы. В резонансе амплитуда примерно равна F₀/(2γω₀), то есть тем больше, чем меньше затухание.

Что такое добротность Q?

Это отношение Q = ω₀/(2γ). Оно показывает, во сколько раз амплитуда в пике превышает статическое смещение F₀/ω₀², а также насколько узок пик: его ширина примерно f₀/Q. Высокая Q означает слабое затухание.

Почему в резонансе сдвиг фазы равен 90°?

При вынужденных колебаниях скорость грузика совпадает по фазе с силой, а смещение отстаёт от скорости на четверть периода. Поэтому именно на частоте f₀ смещение отстаёт от силы на 90°. Ниже резонанса сдвиг меньше, выше — стремится к 180°.

Всегда ли резонанс разрушает мосты и здания?

Нет. Резонанс опасен, когда частота внешнего воздействия совпадает с собственной частотой конструкции, а затухание мало. Поэтому инженеры рассчитывают собственные частоты и ставят демпферы. Известное обрушение моста в Такоме в учебниках часто приводят как пример, но на самом деле там был аэроупругий флаттер, а не обычный резонанс от толчков.