⌁ Rezonans

Wahadło sprężynowe pod działaniem siły okresowej: symulacja drgań wymuszonych, krzywa rezonansowa, dobroć i kalkulator w jednostkach rzeczywistych.

Częstotliwość własna f₀1,60

Częstotliwość siły f1,50

Tłumienie γ0,08

Amplituda siły F₀0,90

Prędkość animacji×1,0

Przykłady:

Wykres w czasie

Stan ustalony

—

Częstotliwość własna f₀

—

Częstotliwość siły f

—

Amplituda ustalona A

—

Wzmocnienie A / A_stat

—

Dobroć Q = ω₀ / 2γ

—

Opóźnienie fazowe φ

Równanie: x″ + 2γ x′ + ω₀² x = F₀ cos Ωt, ω₀ = 2π f₀, Ω = 2π f
Amplituda ustalona: A = F₀ / √((ω₀² − Ω²)² + (2γΩ)²) Faza: tg φ = 2γΩ / (ω₀² − Ω²)
W rezonansie: A ≈ F₀ / (2γ ω₀) = Q · A_stat, gdzie A_stat = F₀ / ω₀²

Ciężarek na sprężynie porusza się zgodnie z równaniem drgań wymuszonych tłumionych. Niebieska strzałka nad nim to siła zewnętrzna, która zmienia się z częstotliwością f. Na początku ciężarek jest wychylony o 0,6, więc przez pierwsze sekundy widać proces przejściowy, w którym dodają się drgania własne i wymuszone.
Zielona krzywa po prawej pokazuje, jaka byłaby amplituda ustalona przy różnych częstotliwościach siły. Żółty punkt to bieżąca częstotliwość f, a żółta linia przerywana oznacza f₀. Im słabsze tłumienie, tym wyższy i węższy pik.
Wykres w czasie (pomarańczowa linia to wychylenie, niebieska to siła) pokazuje przesunięcie fazowe: daleko od rezonansu ciężarek porusza się zgodnie z siłą lub przeciwnie do niej, a w rezonansie opóźnia się o ćwierć okresu (90°).
Częstotliwości są tu podane w jednostkach względnych, powiązanych z szybkością symulacji, tak jak w oryginale. Dla rzeczywistych układów użyj zakładki „Kalkulator”.

Wprowadź parametry układu ze sprężyną: masę, sztywność sprężyny, współczynnik oporu, amplitudę siły zewnętrznej i jej częstotliwość. Otrzymasz częstotliwość własną, dobroć, amplitudę i przesunięcie fazowe.

Masa m, kg

Sztywność sprężyny k, N/m

Współczynnik oporu b, kg/s

Amplituda siły F₀, N

Częstotliwość siły f, Hz

Przykłady:

—

Częstotliwość własna f₀, Hz

—

Dobroć Q

—

Amplituda przy częstotliwości f, cm

—

Amplituda w piku, cm

—

Opóźnienie fazowe φ, °

—

Szerokość piku Δf ≈ γ / π, Hz

f₀ = (1 / 2π) · √(k / m), γ = b / 2m, Q = ω₀ / 2γ = √(km) / b
A(f) = (F₀ / m) / √((ω₀² − Ω²)² + (2γΩ)²), pik przy Ω = √(ω₀² − 2γ²)

Dobroć i kształt rezonansu

Q	Wzmocnienie w piku A / A_stat	Szerokość piku Δf / f₀	Przykład (jakościowo)
1	≈ 1,15	≈ 1,00	silne tłumienie: amortyzator, samozamykacz drzwi
2	≈ 2,07	≈ 0,50	umiarkowane: zawieszenie samochodu
5	≈ 5,03	≈ 0,20	słabe: huśtawka
10	≈ 10,0	≈ 0,100	struna gitary, pudło instrumentu
20	≈ 20,0	≈ 0,050	obwód drgający odbiornika
50	≈ 50,0	≈ 0,020	kamerton, rezonator kwarcowy, jeszcze wyższa Q

Rezonans online: symulacja drgań wymuszonych i kalkulator

Bezpłatne interaktywne narzędzie pokazujące, dlaczego układ drgający silnie reaguje na siłę o częstotliwości bliskiej jego częstotliwości własnej. Ciężarek na sprężynie porusza się pod działaniem siły okresowej, a po prawej powstaje krzywa rezonansowa ze znacznikiem Twojej częstotliwości. Zmieniaj częstotliwość własną, częstotliwość i amplitudę siły oraz tłumienie, obserwuj przesunięcie fazowe i dobroć. Kalkulator w jednostkach rzeczywistych oblicza f₀, Q, amplitudę i szerokość piku dla zadanej masy, sprężyny i oporu.

Kluczowe pojęcia

Rezonans

Gwałtowny wzrost amplitudy drgań wymuszonych, gdy częstotliwość siły zewnętrznej zbliża się do częstotliwości własnej układu.

f ≈ f₀ → A maksymalna

Dobroć Q

Pokazuje, jak słabo tłumiony jest układ. Im wyższa Q, tym wyższy i węższy pik rezonansowy i tym dłużej trwają drgania swobodne.

Q = ω₀ / 2γ

Przesunięcie fazowe

Ciężarek opóźnia się względem siły: prawie wcale przy niskich częstotliwościach, o 90° w rezonansie, a przy wysokich częstotliwościach porusza się w przeciwfazie.

φ = 90° przy f = f₀

Gdzie się to stosuje

Odbiorniki radiowe i obwody drgające: dostrajanie do częstotliwości stacji
Instrumenty muzyczne: pudło gitary lub skrzypiec wzmacnia określone częstotliwości
Zawieszenie samochodu i izolacja drgań urządzeń, gdzie rezonansu trzeba unikać
Rezonans magnetyczny w obrazowaniu i jądrowy rezonans magnetyczny
Budynki i mosty: obliczanie częstotliwości własnych i tłumików
Ćwiczenia laboratoryjne z drgań mechanicznych

Jak korzystać

Spójrz na stan domyślny: częstotliwość siły jest nieco niższa od własnej, amplituda jest mała
Przesuń suwak częstotliwości siły do żółtego znacznika f₀: ciężarek się rozhuśta, a żółty punkt wzniesie się na szczyt zielonego piku
Zwiększ tłumienie: pik staje się niższy i szerszy
Spróbuj słabego tłumienia i częstotliwości bliskiej f₀, aby zobaczyć dudnienia
W zakładce „Kalkulator” wprowadź masę, sztywność i opór własnego układu

Najczęstsze pytania

Czym jest rezonans, prostymi słowami?

To gwałtowny wzrost amplitudy drgań, gdy siła zewnętrzna zmienia się z częstotliwością bliską częstotliwości własnej układu. Jak przy huśtawce, którą popycha się w rytm jej własnych drgań: małe popchnięcia zgodne w fazie dodają się i dają duży rozmach.

Dlaczego amplituda w rezonansie nie jest nieskończona?

Z powodu tłumienia. Opór odbiera energię i przy pewnej amplitudzie straty w ciągu okresu zrównują się z pracą siły zewnętrznej. W rezonansie amplituda wynosi w przybliżeniu F₀/(2γω₀), czyli jest tym większa, im słabsze tłumienie.

Czym jest dobroć Q?

To stosunek Q = ω₀/(2γ). Pokazuje, ile razy amplituda w piku przewyższa wychylenie statyczne F₀/ω₀², a także jak wąski jest pik: jego szerokość to w przybliżeniu f₀/Q. Wysoka Q oznacza słabe tłumienie.

Dlaczego w rezonansie przesunięcie fazowe wynosi 90°?

W drganiach wymuszonych prędkość ciężarka jest zgodna w fazie z siłą, a wychylenie opóźnia się względem prędkości o ćwierć okresu. Dlatego dokładnie przy częstotliwości f₀ wychylenie opóźnia się względem siły o 90°. Poniżej rezonansu przesunięcie jest mniejsze, powyżej dąży do 180°.

Czy rezonans zawsze niszczy mosty i budynki?

Nie. Rezonans jest niebezpieczny, gdy częstotliwość oddziaływania zewnętrznego pokrywa się z częstotliwością własną konstrukcji, a tłumienie jest małe. Dlatego inżynierowie obliczają częstotliwości własne i stosują tłumiki. Słynną katastrofę mostu w Tacoma podręczniki często podają jako przykład, ale w rzeczywistości był to flatter aeroelastyczny, a nie zwykły rezonans od okresowych popchnięć.