⌁ Résonance
Un pendule élastique soumis à une force périodique : simulation d’oscillations forcées, courbe de résonance, facteur de qualité et calculateur en unités réelles.
Fréquence propre f₀1,60
Fréquence de la force f1,50
Amortissement γ0,08
Amplitude de la force F₀0,90
Vitesse de l’animation×1,0
Exemples :
Régime permanent
—
Fréquence propre f₀
—
Fréquence de la force f
—
Amplitude permanente A
—
Amplification A / Astat
—
Facteur de qualité Q = ω₀ / 2γ
—
Retard de phase φ
Équation : x″ + 2γ x′ + ω₀² x = F₀ cos Ωt, ω₀ = 2π f₀, Ω = 2π f
Amplitude en régime permanent : A = F₀ / √((ω₀² − Ω²)² + (2γΩ)²) Phase : tan φ = 2γΩ / (ω₀² − Ω²)
À la résonance : A ≈ F₀ / (2γ ω₀) = Q · Astat, où Astat = F₀ / ω₀²
Amplitude en régime permanent : A = F₀ / √((ω₀² − Ω²)² + (2γΩ)²) Phase : tan φ = 2γΩ / (ω₀² − Ω²)
À la résonance : A ≈ F₀ / (2γ ω₀) = Q · Astat, où Astat = F₀ / ω₀²
- La masse sur le ressort se déplace selon l’équation des oscillations forcées amorties. La flèche bleue au-dessus est la force extérieure, qui varie à la fréquence f. Au départ, la masse est écartée de 0,6 ; pendant les premières secondes, on voit donc un régime transitoire où s’additionnent les oscillations propres et forcées.
- La courbe verte à droite montre quelle serait l’amplitude permanente pour différentes fréquences de la force. Le point jaune est la fréquence actuelle f, et le trait pointillé jaune marque f₀. Plus l’amortissement est faible, plus le pic est haut et étroit.
- Le graphique temporel (la ligne orange est le déplacement, la bleue la force) montre le déphasage : loin de la résonance, la masse se déplace avec la force ou à son opposé ; à la résonance, elle est en retard d’un quart de période (90°).
- Les fréquences sont ici en unités relatives, liées à la vitesse de la simulation, comme dans l’original. Pour des systèmes réels, utilisez l’onglet « Calculateur ».
Saisissez les paramètres d’un système à ressort : masse, raideur du ressort, coefficient de frottement, amplitude de la force extérieure et sa fréquence. Vous obtiendrez la fréquence propre, le facteur de qualité, l’amplitude et le déphasage.
Masse m, kg
Raideur du ressort k, N/m
Coefficient de frottement b, kg/s
Amplitude de la force F₀, N
Fréquence de la force f, Hz
Exemples :
—
Fréquence propre f₀, Hz
—
Facteur de qualité Q
—
Amplitude à la fréquence f, cm
—
Amplitude au pic, cm
—
Retard de phase φ, °
—
Largeur du pic Δf ≈ γ / π, Hz
f₀ = (1 / 2π) · √(k / m), γ = b / 2m, Q = ω₀ / 2γ = √(km) / b
A(f) = (F₀ / m) / √((ω₀² − Ω²)² + (2γΩ)²), pic à Ω = √(ω₀² − 2γ²)
A(f) = (F₀ / m) / √((ω₀² − Ω²)² + (2γΩ)²), pic à Ω = √(ω₀² − 2γ²)
Facteur de qualité et forme de la résonance
| Q | Amplification au pic A / Astat | Largeur du pic Δf / f₀ | Exemple (qualitatif) |
|---|---|---|---|
| 1 | ≈ 1,15 | ≈ 1,00 | amortissement fort : amortisseur, ferme-porte |
| 2 | ≈ 2,07 | ≈ 0,50 | modéré : suspension d’automobile |
| 5 | ≈ 5,03 | ≈ 0,20 | faible : balançoire |
| 10 | ≈ 10,0 | ≈ 0,100 | corde de guitare, caisse d’instrument |
| 20 | ≈ 20,0 | ≈ 0,050 | circuit oscillant d’un récepteur |
| 50 | ≈ 50,0 | ≈ 0,020 | diapason, résonateur à quartz, Q encore plus élevé |
Résonance en ligne : simulation d’oscillations forcées et calculateur
Un outil interactif gratuit qui montre pourquoi un système oscillant réagit fortement à une force dont la fréquence est proche de sa fréquence propre. Une masse sur un ressort se déplace sous l’effet d’une force périodique, tandis que la courbe de résonance, avec un repère de votre fréquence, se trace à droite. Modifiez la fréquence propre, la fréquence et l’amplitude de la force ainsi que l’amortissement, et observez le déphasage et le facteur de qualité. Le calculateur en unités réelles détermine f₀, Q, l’amplitude et la largeur du pic pour une masse, un ressort et un frottement donnés.
Notions clés
Résonance
Forte augmentation de l’amplitude des oscillations forcées lorsque la fréquence de la force extérieure se rapproche de la fréquence propre du système.
f ≈ f₀ → A maximale
Facteur de qualité Q
Indique à quel point le système est faiblement amorti. Plus Q est élevé, plus le pic de résonance est haut et étroit, et plus l’oscillation libre dure longtemps.
Q = ω₀ / 2γ
Déphasage
La masse est en retard sur la force : presque pas aux basses fréquences, de 90° à la résonance, et en opposition de phase aux hautes fréquences.
φ = 90° pour f = f₀
Où on l’utilise
- Récepteurs radio et circuits oscillants : accord sur la fréquence d’une station
- Instruments de musique : la caisse d’une guitare ou d’un violon amplifie certaines fréquences
- Suspension automobile et isolation vibratoire des équipements, où il faut éviter la résonance
- Imagerie par résonance magnétique et résonance magnétique nucléaire
- Bâtiments et ponts : calcul des fréquences propres et des amortisseurs
- Travaux pratiques sur les oscillations mécaniques
Comment l’utiliser
- Observez l’état par défaut : la fréquence de la force est un peu inférieure à la fréquence propre, l’amplitude est faible
- Déplacez le curseur de fréquence de la force jusqu’au repère jaune f₀ : la masse se met à osciller fortement, et le point jaune monte au sommet du pic vert
- Augmentez l’amortissement : le pic devient plus bas et plus large
- Essayez un amortissement faible et une fréquence proche de f₀ pour voir des battements
- Dans l’onglet « Calculateur », saisissez la masse, la raideur et le frottement de votre propre système
Questions fréquentes
Qu’est-ce que la résonance, en termes simples ?
C’est une forte augmentation de l’amplitude des oscillations lorsqu’une force extérieure varie à une fréquence proche de la fréquence propre du système. Comme pour une balançoire que l’on pousse en rythme avec son propre mouvement : de petites poussées en phase s’additionnent et donnent un grand balancement.
Pourquoi l’amplitude à la résonance n’est-elle pas infinie ?
À cause de l’amortissement. Le frottement prélève de l’énergie, et pour une certaine amplitude les pertes par période égalent le travail de la force extérieure. À la résonance, l’amplitude vaut environ F₀/(2γω₀) : elle est d’autant plus grande que l’amortissement est faible.
Qu’est-ce que le facteur de qualité Q ?
C’est le rapport Q = ω₀/(2γ). Il indique combien de fois l’amplitude au pic dépasse le déplacement statique F₀/ω₀², et aussi à quel point le pic est étroit : sa largeur vaut environ f₀/Q. Un Q élevé signifie un amortissement faible.
Pourquoi le déphasage vaut-il 90° à la résonance ?
Dans les oscillations forcées, la vitesse de la masse est en phase avec la force, et le déplacement est en retard sur la vitesse d’un quart de période. C’est pourquoi, exactement à la fréquence f₀, le déplacement est en retard de 90° sur la force. En dessous de la résonance, le déphasage est plus petit ; au-dessus, il tend vers 180°.
La résonance détruit-elle toujours les ponts et les bâtiments ?
Non. La résonance est dangereuse lorsque la fréquence de l’action extérieure coïncide avec la fréquence propre d’une structure et que l’amortissement est faible. C’est pourquoi les ingénieurs calculent les fréquences propres et installent des amortisseurs. L’effondrement du pont de Tacoma est souvent cité en exemple dans les manuels, mais il s’agissait en réalité d’un flottement aéroélastique, et non d’une résonance ordinaire due à des poussées périodiques.