⌁ Resonanz
Ein Federpendel unter einer periodischen Kraft: Simulation erzwungener Schwingungen, Resonanzkurve, Güte und ein Rechner in realen Einheiten.
Eigenfrequenz f₀1,60
Anregungsfrequenz f1,50
Dämpfung γ0,08
Kraftamplitude F₀0,90
Animationsgeschwindigkeit×1,0
Beispiele:
Eingeschwungener Zustand
—
Eigenfrequenz f₀
—
Anregungsfrequenz f
—
Stationäre Amplitude A
—
Verstärkung A / Astat
—
Güte Q = ω₀ / 2γ
—
Phasennacheilung φ
Gleichung: x″ + 2γ x′ + ω₀² x = F₀ cos Ωt, ω₀ = 2π f₀, Ω = 2π f
Stationäre Amplitude: A = F₀ / √((ω₀² − Ω²)² + (2γΩ)²) Phase: tan φ = 2γΩ / (ω₀² − Ω²)
Bei Resonanz: A ≈ F₀ / (2γ ω₀) = Q · Astat, mit Astat = F₀ / ω₀²
Stationäre Amplitude: A = F₀ / √((ω₀² − Ω²)² + (2γΩ)²) Phase: tan φ = 2γΩ / (ω₀² − Ω²)
Bei Resonanz: A ≈ F₀ / (2γ ω₀) = Q · Astat, mit Astat = F₀ / ω₀²
- Die Masse an der Feder bewegt sich nach der Gleichung der erzwungenen gedämpften Schwingung. Der blaue Pfeil darüber ist die äußere Kraft, die sich mit der Frequenz f ändert. Zu Beginn ist die Masse um 0,6 ausgelenkt, daher sieht man in den ersten Sekunden einen Einschwingvorgang, in dem sich die Eigenschwingung und die erzwungene Schwingung überlagern.
- Die grüne Kurve rechts zeigt, wie groß die stationäre Amplitude bei verschiedenen Anregungsfrequenzen wäre. Der gelbe Punkt ist die aktuelle Frequenz f, die gelbe gestrichelte Linie markiert f₀. Je schwächer die Dämpfung, desto höher und schmaler der Peak.
- Das Zeitdiagramm (die orange Linie ist die Auslenkung, die blaue die Kraft) zeigt die Phasenverschiebung: Weit von der Resonanz entfernt bewegt sich die Masse mit der Kraft oder gegen sie, bei Resonanz eilt sie um eine Viertelperiode (90°) nach.
- Die Frequenzen sind hier relative Einheiten, gekoppelt an die Simulationsgeschwindigkeit, wie im Original. Für reale Systeme nutzen Sie den Reiter „Rechner“.
Geben Sie die Parameter eines Federsystems ein: Masse, Federsteifigkeit, Dämpfungskoeffizient, Amplitude der äußeren Kraft und ihre Frequenz. Sie erhalten Eigenfrequenz, Güte, Amplitude und Phasenverschiebung.
Masse m, kg
Federkonstante k, N/m
Dämpfungskoeffizient b, kg/s
Kraftamplitude F₀, N
Anregungsfrequenz f, Hz
Beispiele:
—
Eigenfrequenz f₀, Hz
—
Güte Q
—
Amplitude bei Frequenz f, cm
—
Amplitude im Peak, cm
—
Phasennacheilung φ, °
—
Peakbreite Δf ≈ γ / π, Hz
f₀ = (1 / 2π) · √(k / m), γ = b / 2m, Q = ω₀ / 2γ = √(km) / b
A(f) = (F₀ / m) / √((ω₀² − Ω²)² + (2γΩ)²), Peak bei Ω = √(ω₀² − 2γ²)
A(f) = (F₀ / m) / √((ω₀² − Ω²)² + (2γΩ)²), Peak bei Ω = √(ω₀² − 2γ²)
Güte und Form der Resonanz
| Q | Verstärkung im Peak A / Astat | Peakbreite Δf / f₀ | Beispiel (qualitativ) |
|---|---|---|---|
| 1 | ≈ 1,15 | ≈ 1,00 | starke Dämpfung: Stoßdämpfer, Türschließer |
| 2 | ≈ 2,07 | ≈ 0,50 | mäßig: Fahrzeugfederung |
| 5 | ≈ 5,03 | ≈ 0,20 | schwach: Schaukel |
| 10 | ≈ 10,0 | ≈ 0,100 | Gitarrensaite, Instrumentenkorpus |
| 20 | ≈ 20,0 | ≈ 0,050 | Empfänger-Schwingkreis |
| 50 | ≈ 50,0 | ≈ 0,020 | Stimmgabel, Quarzresonator, noch höhere Güte |
Resonanz online: Simulation erzwungener Schwingungen und Rechner
Ein kostenloses interaktives Werkzeug, das zeigt, warum ein schwingungsfähiges System stark auf eine Kraft reagiert, deren Frequenz nahe an seiner Eigenfrequenz liegt. Eine Masse an einer Feder bewegt sich unter einer periodischen Kraft, während rechts die Resonanzkurve mit einer Markierung Ihrer Frequenz entsteht. Verändern Sie Eigenfrequenz, Kraftfrequenz und -amplitude sowie die Dämpfung und beobachten Sie Phasenverschiebung und Güte. Der Rechner in realen Einheiten berechnet f₀, Q, Amplitude und Peakbreite für vorgegebene Masse, Feder und Dämpfung.
Schlüsselbegriffe
Resonanz
Ein starker Anstieg der Amplitude erzwungener Schwingungen, wenn sich die Frequenz der äußeren Kraft der Eigenfrequenz des Systems nähert.
f ≈ f₀ → A maximal
Güte Q
Zeigt, wie schwach das System gedämpft ist. Je höher Q, desto höher und schmaler der Resonanzpeak und desto länger dauert die freie Schwingung.
Q = ω₀ / 2γ
Phasenverschiebung
Die Masse eilt der Kraft nach: bei niedrigen Frequenzen kaum, bei Resonanz um 90°, bei hohen Frequenzen bewegt sie sich im Gegentakt.
φ = 90° bei f = f₀
Wo es angewendet wird
- Radioempfänger und Schwingkreise: Abstimmung auf die Senderfrequenz
- Musikinstrumente: Der Korpus einer Gitarre oder Geige verstärkt bestimmte Frequenzen
- Fahrzeugfederung und Schwingungsisolierung von Anlagen, wo Resonanz vermieden werden muss
- Magnetresonanztomographie und Kernspinresonanz
- Gebäude und Brücken: Berechnung von Eigenfrequenzen und Dämpfern
- Laborpraktika zu mechanischen Schwingungen
So funktioniert’s
- Betrachten Sie den Standardzustand: Die Kraftfrequenz liegt etwas unter der Eigenfrequenz, die Amplitude ist klein
- Schieben Sie den Regler für die Kraftfrequenz auf die gelbe Markierung f₀: Die Masse schaukelt sich auf, und der gelbe Punkt steigt auf die Spitze des grünen Peaks
- Erhöhen Sie die Dämpfung: Der Peak wird niedriger und breiter
- Probieren Sie schwache Dämpfung und eine Frequenz nahe f₀ aus, um Schwebungen zu sehen
- Geben Sie im Reiter „Rechner“ Masse, Steifigkeit und Dämpfung Ihres eigenen Systems ein
Häufige Fragen
Was ist Resonanz in einfachen Worten?
Das ist ein starker Anstieg der Schwingungsamplitude, wenn sich eine äußere Kraft mit einer Frequenz nahe der Eigenfrequenz des Systems ändert. Wie bei einer Schaukel, die im Takt ihrer eigenen Bewegung angestoßen wird: Kleine, phasengleiche Stöße addieren sich und ergeben einen großen Ausschlag.
Warum ist die Amplitude bei Resonanz nicht unendlich?
Wegen der Dämpfung. Der Widerstand entzieht Energie, und bei einer bestimmten Amplitude sind die Verluste pro Periode gleich der Arbeit der äußeren Kraft. Bei Resonanz beträgt die Amplitude etwa F₀/(2γω₀), ist also umso größer, je geringer die Dämpfung ist.
Was ist die Güte Q?
Das ist das Verhältnis Q = ω₀/(2γ). Es zeigt, wievielmal die Amplitude im Peak die statische Auslenkung F₀/ω₀² übertrifft, und auch, wie schmal der Peak ist: Seine Breite beträgt etwa f₀/Q. Eine hohe Güte bedeutet schwache Dämpfung.
Warum beträgt die Phasenverschiebung bei Resonanz 90°?
Bei erzwungenen Schwingungen ist die Geschwindigkeit der Masse in Phase mit der Kraft, und die Auslenkung eilt der Geschwindigkeit um eine Viertelperiode nach. Deshalb eilt die Auslenkung genau bei f₀ der Kraft um 90° nach. Unterhalb der Resonanz ist die Verschiebung kleiner, oberhalb strebt sie gegen 180°.
Zerstört Resonanz immer Brücken und Gebäude?
Nein. Resonanz ist gefährlich, wenn die Frequenz der äußeren Einwirkung mit der Eigenfrequenz eines Bauwerks übereinstimmt und die Dämpfung gering ist. Deshalb berechnen Ingenieure Eigenfrequenzen und bauen Dämpfer ein. Der berühmte Einsturz der Tacoma-Brücke wird in Lehrbüchern oft als Beispiel genannt, tatsächlich war es aber aeroelastisches Flattern und keine gewöhnliche Resonanz durch periodische Stöße.