⌁ Резонанс

Пружинно махало под действието на периодична сила: симулация на принудени трептения, резонансна крива, качествен фактор и калкулатор в реални единици.

Собствена честота f₀1,60

Честота на силата f1,50

Затихване γ0,08

Амплитуда на силата F₀0,90

Скорост на анимацията×1,0

Примери:

Графика във времето

Установен режим

—

Собствена честота f₀

—

Честота на силата f

—

Установена амплитуда A

—

Усилване A / A_ст

—

Качествен фактор Q = ω₀ / 2γ

—

Фазово изоставане φ

Уравнение: x″ + 2γ x′ + ω₀² x = F₀ cos Ωt, ω₀ = 2π f₀, Ω = 2π f
Установена амплитуда: A = F₀ / √((ω₀² − Ω²)² + (2γΩ)²) Фаза: tg φ = 2γΩ / (ω₀² − Ω²)
При резонанс: A ≈ F₀ / (2γ ω₀) = Q · A_ст, където A_ст = F₀ / ω₀²

Топчето на пружината се движи по уравнението на принудените затихващи трептения. Синята стрелка над него е външната сила: тя се променя с честота f. В началото топчето е изместено на 0,6, затова през първите секунди се вижда преходен процес, в който се събират собствените и принудените трептения.
Зелената крива вдясно показва каква би била установената амплитуда при различни честоти на силата. Жълтата точка е текущата честота f, а жълтата пунктирана линия отбелязва f₀. Колкото е по-слабо затихването, толкова по-висок и по-тесен е пикът.
Графиката във времето (оранжевата линия е преместването, синята е силата) показва фазовото изоставане: далеч от резонанса топчето се движи заедно със силата или срещу нея, а при резонанс изостава с четвърт период (90°).
Честотите тук са в относителни единици със скоростта на симулацията, както в оригинала. За реални системи използвайте раздела «Калкулатор».

Въведете параметрите на пружинната система: маса, коравина на пружината, коефициент на съпротивление, амплитуда на външната сила и нейната честота. Ще получите собствената честота, качествения фактор, амплитудата и фазовото изоставане.

Маса m, кг

Коравина на пружината k, N/m

Коефициент на съпротивление b, кг/с

Амплитуда на силата F₀, N

Честота на силата f, Hz

Примери:

—

Собствена честота f₀, Hz

—

Качествен фактор Q

—

Амплитуда при честота f, см

—

Амплитуда в пика, см

—

Фазово изоставане φ, °

—

Ширина на пика Δf ≈ γ / π, Hz

f₀ = (1 / 2π) · √(k / m), γ = b / 2m, Q = ω₀ / 2γ = √(km) / b
A(f) = (F₀ / m) / √((ω₀² − Ω²)² + (2γΩ)²), пик при Ω = √(ω₀² − 2γ²)

Качествен фактор и форма на резонанса

Q	Усилване в пика A / A_ст	Ширина на пика Δf / f₀	Пример (качествено)
1	≈ 1,15	≈ 1,00	силно затихване: амортисьор, дверен автоматичен затварящ механизъм
2	≈ 2,07	≈ 0,50	умерено: окачване на автомобил
5	≈ 5,03	≈ 0,20	слабо: люлка
10	≈ 10,0	≈ 0,100	китарна струна, корпус на инструмент
20	≈ 20,0	≈ 0,050	трептящ кръг на радиоприемник
50	≈ 50,0	≈ 0,020	камертон, кварцов резонатор, още по-висок Q

Резонанс онлайн: симулация на принудени трептения и калкулатор

Безплатен интерактивен инструмент, който показва защо една трептяща система реагира силно на сила с честота, близка до собствената. Топче на пружина се движи под действието на периодична сила, а вдясно се изчертава резонансната крива с отметка за вашата честота. Променяйте собствената честота, честотата и амплитудата на силата и затихването, наблюдавайте фазовото изоставане и качествения фактор. Калкулаторът в реални единици изчислява f₀, Q, амплитудата и ширината на пика за зададени маса, пружина и съпротивление.

Ключови понятия

Резонанс

Рязко нарастване на амплитудата на принудените трептения, когато честотата на външната сила се приближава до собствената честота на системата.

f ≈ f₀ → A е максимална

Качествен фактор Q

Показва колко слабо затихва системата. Колкото е по-висок Q, толкова по-висок и по-тесен е резонансният пик и толкова по-дълго продължава свободното трептене.

Q = ω₀ / 2γ

Фазов превод

Топчето изостава от силата: почти не изостава при ниски честоти, при резонанс изостава с 90°, а при високи честоти се движи в противофаза.

φ = 90° при f = f₀

Къде се прилага

Радиоприемници и трептящи кръгове: настройка на честотата на станцията
Музикални инструменти: корпусът на китара или цигулка усилва определени честоти
Окачване на автомобили и виброизолация на оборудване, където резонансът трябва да се избягва
Магнитнорезонансна томография и ядрено-магнитен резонанс
Сгради и мостове: изчисляване на собствени честоти и демпфери
Лабораторни упражнения по механични трептения

Как се използва

Вижте състоянието по подразбиране: честотата на силата е малко под собствената, амплитудата е малка
Придвижете плъзгача на честотата на силата към жълтата отметка f₀: топчето се разлюлява, жълтата точка се издига до върха на зеления пик
Увеличете затихването: пикът става по-нисък и по-широк
Опитайте със слабо затихване и честота до f₀, за да видите биения
В раздела «Калкулатор» въведете масата, коравината и съпротивлението на вашата система

Често задавани въпроси

Какво е резонанс с прости думи?

Това е рязко нарастване на амплитудата на трептенията, когато външната сила се променя с честота, близка до собствената честота на системата. Както люлката се залюлява в такт със собствените си трептения: малките тласъци, които съвпадат по фаза, се събират и дават голям размах.

Защо амплитудата при резонанс не е безкрайна?

Заради затихването. Съпротивлението отнема енергия и при определена амплитуда загубите за период се изравняват с работата на външната сила. При резонанс амплитудата е приблизително F₀/(2γω₀), т.е. толкова по-голяма, колкото по-слабо е затихването.

Какво е качествен фактор Q?

Това е отношението Q = ω₀/(2γ). То показва колко пъти амплитудата в пика надвишава статичното преместване F₀/ω₀², а също и колко е тесен пикът: ширината му е приблизително f₀/Q. Висок Q означава слабо затихване.

Защо при резонанс фазовото изоставане е 90°?

При принудени трептения скоростта на топчето съвпада по фаза със силата, а преместването изостава от скоростта с четвърт период. Затова именно при честота f₀ преместването изостава от силата с 90°. Под резонанса изоставането е по-малко, над него клони към 180°.

Винаги ли резонансът разрушава мостове и сгради?

Не. Резонансът е опасен, когато честотата на външното въздействие съвпада със собствената честота на конструкцията, а затихването е малко. Затова инженерите изчисляват собствените честоти и поставят демпфери. Известното срутване на моста в Такома често се дава в учебниците като пример, но всъщност там е имало аероеластичен флътър, а не обикновен резонанс от тласъци.