⌁ Рэзананс
Спружынны маятнік пад дзеяннем перыядычнай сілы: сімуляцыя вымушаных ваганняў, крывая рэзанансу, дабротнасць і калькулятар у рэальных адзінках.
Уласная частата f₀1,60
Частата сілы f1,50
Згасанне γ0,08
Амплітуда сілы F₀0,90
Хуткасць анімацыі×1,0
Прыклады:
Усталяваны рэжым
—
Уласная частата f₀
—
Частата сілы f
—
Усталяваная амплітуда A
—
Узмацненне A / Aстат
—
Дабротнасць Q = ω₀ / 2γ
—
Адставанне па фазе φ
Раўнанне: x″ + 2γ x′ + ω₀² x = F₀ cos Ωt, ω₀ = 2π f₀, Ω = 2π f
Усталяваная амплітуда: A = F₀ / √((ω₀² − Ω²)² + (2γΩ)²) Фаза: tg φ = 2γΩ / (ω₀² − Ω²)
На рэзанансе: A ≈ F₀ / (2γ ω₀) = Q · Aстат, дзе Aстат = F₀ / ω₀²
Усталяваная амплітуда: A = F₀ / √((ω₀² − Ω²)² + (2γΩ)²) Фаза: tg φ = 2γΩ / (ω₀² − Ω²)
На рэзанансе: A ≈ F₀ / (2γ ω₀) = Q · Aстат, дзе Aстат = F₀ / ω₀²
- Цяжарок на спружыне рухаецца паводле раўнання вымушаных згасальных ваганняў. Блакітная стрэлка над ім — гэта знешняя сіла: яна змяняецца з частатой f. Спачатку цяжарок зрушаны на 0,6, таму першыя секунды відаць пераходны працэс, у якім складаюцца ўласныя і вымушаныя ваганні.
- Зялёная крывая справа паказвае, якой была б усталяваная амплітуда пры розных частотах сілы. Жоўтая кропка — гэта бягучая частата f, а жоўты пункцір пазначае f₀. Чым слабейшае згасанне, тым вышэйшы і вузейшы пік.
- Графік у часе (аранжавая лінія — зрушэнне, блакітная — сіла) паказвае зрух па фазе: далёка ад рэзанансу цяжарок рухаецца разам з сілай або супраць яе, а на рэзанансе адстае на чвэрць перыяду (90°).
- Частоты тут у адносных адзінках са хуткасцю сімуляцыі, як у арыгінале. Для рэальных сістэм карыстайцеся ўкладкай «Калькулятар».
Увядзіце параметры спружыннай сістэмы: масу, жорсткасць спружыны, каэфіцыент супраціву, амплітуду знешняй сілы і яе частату. Атрымаеце ўласную частату, дабротнасць, амплітуду і зрух фазы.
Маса m, кг
Жорсткасць спружыны k, Н/м
Каэфіцыент супраціву b, кг/с
Амплітуда сілы F₀, Н
Частата сілы f, Гц
Прыклады:
—
Уласная частата f₀, Гц
—
Дабротнасць Q
—
Амплітуда на частаце f, см
—
Амплітуда ў піку, см
—
Адставанне па фазе φ, °
—
Шырыня піка Δf ≈ γ / π, Гц
f₀ = (1 / 2π) · √(k / m), γ = b / 2m, Q = ω₀ / 2γ = √(km) / b
A(f) = (F₀ / m) / √((ω₀² − Ω²)² + (2γΩ)²), пік пры Ω = √(ω₀² − 2γ²)
A(f) = (F₀ / m) / √((ω₀² − Ω²)² + (2γΩ)²), пік пры Ω = √(ω₀² − 2γ²)
Дабротнасць і форма рэзанансу
| Q | Узмацненне ў піку A / Aстат | Шырыня піка Δf / f₀ | Прыклад (якасна) |
|---|---|---|---|
| 1 | ≈ 1,15 | ≈ 1,00 | моцнае згасанне: амартызатар, дзвярны даводчык |
| 2 | ≈ 2,07 | ≈ 0,50 | умеранае: падвеска аўтамабіля |
| 5 | ≈ 5,03 | ≈ 0,20 | слабае: арэль |
| 10 | ≈ 10,0 | ≈ 0,100 | гітарная струна, корпус інструмента |
| 20 | ≈ 20,0 | ≈ 0,050 | ваганны контур прыёмніка |
| 50 | ≈ 50,0 | ≈ 0,020 | камертон, кварцавы рэзанатар, яшчэ вышэйшая Q |
Рэзананс анлайн: сімуляцыя вымушаных ваганняў і калькулятар
Бясплатная інтэрактыўная прылада, што паказвае, чаму ваганная сістэма моцна рэагуе на сілу з частатой, блізкай да ўласнай. Цяжарок на спружыне рухаецца пад дзеяннем перыядычнай сілы, а справа будуецца крывая рэзанансу з пазнакай вашай частаты. Змяняйце ўласную частату, частату і амплітуду сілы і згасанне, сочыце за зрухам фазы і дабротнасцю. Калькулятар у рэальных адзінках лічыць f₀, Q, амплітуду і шырыню піка для зададзеных масы, спружыны і супраціву.
Ключавыя паняцці
Рэзананс
Рэзкі рост амплітуды вымушаных ваганняў, калі частата знешняй сілы набліжаецца да ўласнай частаты сістэмы.
f ≈ f₀ → A максімальная
Дабротнасць Q
Паказвае, наколькі слаба згасае сістэма. Чым вышэйшая Q, тым вышэйшы і вузейшы рэзанансны пік і тым даўжэй доўжыцца свабоднае ваганне.
Q = ω₀ / 2γ
Зрух фазы
Цяжарок адстае ад сілы: амаль не адстае пры нізкіх частотах, на рэзанансе адстае на 90°, а пры высокіх частотах рухаецца ў процілеглай фазе.
φ = 90° пры f = f₀
Дзе гэта ўжываюць
- Радыёпрыёмнікі і ваганныя контуры: налада на частату станцыі
- Музычныя інструменты: корпус гітары або скрыпкі ўзмацняе пэўныя частоты
- Падвеска аўтамабіля і віброізаляцыя абсталявання, дзе рэзанансу трэба пазбягаць
- Магнітна-рэзанансная тамаграфія і ядзерны магнітны рэзананс
- Будынкі і масты: разлік уласных частот і дэмпфераў
- Лабараторныя работы па механічных ваганнях
Як карыстацца
- Паглядзіце на стан па змаўчанні: частата сілы крыху ніжэйшая за ўласную, амплітуда малая
- Рухайце паўзунок частаты сілы да жоўтай пазнакі f₀: цяжарок раскалываецца, жоўтая кропка падымаецца на верхавіну зялёнага піка
- Павялічце згасанне: пік робіцца ніжэйшым і шырэйшым
- Паспрабуйце слабое згасанне і частату побач з f₀, каб убачыць біцці
- Ва ўкладцы «Калькулятар» увядзіце масу, жорсткасць і супраціў сваёй сістэмы
Частыя пытанні
Што такое рэзананс простымі словамі?
Гэта рэзкі рост амплітуды ваганняў, калі знешняя сіла змяняецца з частатой, блізкай да ўласнай частаты сістэмы. Як арэль раскалываюць у такт яе ўласным ваганням: невялікія штуршкі, што супадаюць па фазе, складаюцца і даюць вялікі размах.
Чаму амплітуда на рэзанансе не бясконцая?
Праз згасанне. Супраціў забірае энергію, і пры пэўнай амплітудзе страты за перыяд раўнуюцца рабоце знешняй сілы. На рэзанансе амплітуда прыблізна F₀/(2γω₀), гэта значыць тым большая, чым меншае згасанне.
Што такое дабротнасць Q?
Гэта адносіна Q = ω₀/(2γ). Яна паказвае, у колькі разоў амплітуда ў піку перавышае статычнае зрушэнне F₀/ω₀², а таксама наколькі вузкі пік: яго шырыня прыблізна f₀/Q. Высокая Q азначае слабое згасанне.
Чаму на рэзанансе зрух фазы роўны 90°?
Пры вымушаных ваганнях хуткасць цяжарка супадае па фазе з сілай, а зрушэнне адстае ад хуткасці на чвэрць перыяду. Таму менавіта на частаце f₀ зрушэнне адстае ад сілы на 90°. Ніжэй рэзанансу зрух меншы, вышэй імкнецца да 180°.
Ці заўсёды рэзананс разбурае масты і будынкі?
Не. Рэзананс небяспечны, калі частата знешняга ўздзеяння супадае з уласнай частатой канструкцыі, а згасанне малое. Таму інжынеры лічаць уласныя частоты і ставяць дэмпферы. Вядомы абвал моста ў Такоме ў падручніках часта прыводзяць як прыклад, але насамрэч там быў аэрапружны флатар, а не звычайны рэзананс ад штуршкоў.