≈ Биения

Две волны с близкими частотами дают пульсацию амплитуды: симуляция с огибающей, звук и калькулятор частоты биений.

Частота f₁6,0

Частота f₂6,8

Скорость анимации×1,0

Вид:

Примеры:

Огибающая и узлы биений

Параметры биений

—

Частота f₁

—

Частота f₂

—

Частота биений |f₂ − f₁|

—

Несущая частота (f₁ + f₂) / 2

—

Период биений 1 / |f₂ − f₁|

—

Интервал, центы

Сумма двух волн: sin(2π f₁ t) + sin(2π f₂ t) = 2 cos(π (f₂ − f₁) t) · sin(2π · (f₁ + f₂)/2 · t)
Частота биений: f_б = |f₂ − f₁| Огибающая: 2 |cos(π (f₂ − f₁) t)|

Зелёная кривая внизу — это сумма двух волн. Когда волны в фазе, амплитуда удваивается, когда в противофазе, сумма исчезает. Жёлтые линии — огибающая, а жёлтые точки отмечают узлы биений, где сумма равна нулю.
Вид «В пространстве» повторяет оригинал: частоты означают количество периодов на ширине поля (относительные единицы), а волны бегут вправо с одинаковой скоростью 0,9 цикла/с, поэтому огибающая стоит на месте. Вид «Во времени» показывает сигнал в одной точке за последнюю секунду: здесь частоты настоящие (Гц), огибающая движется, а индикатор «громкость» пульсирует с частотой биений.
Кнопка «Звук» играет тон 440 Гц и второй тон 440 + (f₂ − f₁) Гц, поэтому вы слышите биения именно с частотой |f₂ − f₁|. При Δf ≈ 1 Гц это медленная пульсация, при Δf более 15 Гц она переходит в шероховатость.
Интервал в центах показывает, насколько близки частоты: 100 центов — это полутон. Биения слышны, пока разность меньше ~20 % частоты.

Введите частоты двух источников звука в герцах. Вы получите частоту биений, их период, среднюю частоту и количество биений за выбранное время. Удобно для настройки струн и камертонов.

Частота первого источника f₁, Гц

Частота второго источника f₂, Гц

Время наблюдения t, с

Примеры:

—

Частота биений, Гц

—

Период биений, с

—

Несущая частота, Гц

—

Биений за время t

—

Интервал между частотами, центы

—

Как это звучит

f_б = |f₂ − f₁|, T_б = 1 / f_б, f_ср = (f₁ + f₂) / 2
Интервал: 1200 · log₂(f₂ / f₁) центов

Частота биений и то, что мы слышим (ориентировочно)

Δf, Гц	Период биений, с	Как воспринимается
0,5	2	очень медленная пульсация
1	1	отчётливо слышимые биения
2	0,5	отчётливо слышимые биения
4	0,25	быстрое тремоло
8	0,125	быстрое тремоло
15	0,067	граница биений и шероховатости
30	0,033	шероховатость, диссонанс
60	0,017	два отдельных тона

Биения волн онлайн: симуляция и калькулятор частоты биений

Бесплатный интерактивный инструмент, показывающий, как две волны с близкими частотами дают биения: амплитуда суммы то растёт, то почти исчезает. Меняйте частоты f₁ и f₂, смотрите отдельные волны, их сумму и огибающую, переключайтесь между пространственным и временным видом и включайте звук, чтобы услышать биения. Калькулятор считает частоту и период биений, их количество за выбранное время и интервал в центах.

Ключевые понятия

Частота биений

Равна модулю разности частот двух волн. Чем ближе частоты, тем медленнее пульсация.

f_б = |f₂ − f₁|

Огибающая

Медленная кривая, внутри которой колеблется быстрая несущая волна. Её форма 2|cos(π Δf t)|, а нули — это узлы биений.

A(t) = 2 |cos(π Δf t)|

Суперпозиция

Сумма двух волн в каждой точке. В фазе волны усиливают друг друга, в противофазе гасят.

y = y₁ + y₂

Где это применяют

Настройка гитары, скрипки, фортепиано и камертонов «по биениям»
Хор и оркестр: почему одинаковые ноты звучат чуть «живее»
Радиотехника: гетеродинный приём и смешение частот
Измерение малой разности частот лазеров и световых волн
Доплеровские измерения скорости по биениям отражённого и опорного сигналов
Обучение волновой физике и акустике

Как пользоваться

Двигайте ползунки f₁ и f₂ и смотрите, как меняется огибающая
Сделайте частоты равными: биения исчезнут, и сумма станет чистой синусоидой двойной амплитуды
Переключите вид на «Во времени», чтобы увидеть движущуюся огибающую и пульсацию громкости
Включите звук и сосчитайте биения на слух
На вкладке «Калькулятор» введите реальные частоты своих струн или камертонов

Частые вопросы

Что такое биения?

Это периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух волн с близкими частотами. Сумма выглядит как быстрая волна, амплитуда которой медленно растёт и убывает. Для звука это ощущается как пульсация громкости.

По какой формуле считается частота биений?

Частота биений равна модулю разности частот: f_б = |f₂ − f₁|. Например, тоны 440 и 443 Гц дают 3 биения в секунду, то есть период около 0,33 с.

Почему амплитуда суммы пульсирует?

Из-за тригонометрического тождества sin(a) + sin(b) = 2 cos((a − b)/2) · sin((a + b)/2). Быстрый множитель sin даёт несущую волну со средней частотой (f₁ + f₂)/2, а медленный множитель cos образует огибающую, которая изменяется с частотой |f₂ − f₁|/2, что даёт |f₂ − f₁| максимумов в секунду.

Как настраивают инструменты по биениям?

Музыкант одновременно играет эталонный тон и ноту на инструменте и слушает пульсацию. Чем медленнее биения, тем точнее совпадают частоты. Когда биения исчезают, струна настроена в унисон с эталоном.

Почему при большой разности частот биения не слышны?

Когда разность превышает примерно 15–20 Гц, ухо уже не успевает следить за пульсацией: звук становится шероховатым, а затем распадается на два отдельных тона. К тому же биения заметны, лишь пока частоты лежат в пределах одной критической полосы слуха, обычно около 20 % частоты.