≈ Dudnienia

Dwie fale o bliskich częstotliwościach dają pulsację amplitudy: symulacja z obwiednią, dźwiękiem i kalkulatorem częstotliwości dudnień.

Częstotliwość f₁6,0

Częstotliwość f₂6,8

Prędkość animacji×1,0

Widok:

Przykłady:

Obwiednia i węzły dudnień

Parametry dudnień

—

Częstotliwość f₁

—

Częstotliwość f₂

—

Częstotliwość dudnień |f₂ − f₁|

—

Częstotliwość nośna (f₁ + f₂) / 2

—

Okres dudnień 1 / |f₂ − f₁|

—

Interwał, centy

Suma dwóch fal: sin(2π f₁ t) + sin(2π f₂ t) = 2 cos(π (f₂ − f₁) t) · sin(2π · (f₁ + f₂)/2 · t)
Częstotliwość dudnień: f_d = |f₂ − f₁| Obwiednia: 2 |cos(π (f₂ − f₁) t)|

Zielona krzywa na dole to suma dwóch fal. Gdy fale są w fazie, amplituda się podwaja, a gdy są w przeciwfazie, suma znika. Żółte linie to obwiednia, a żółte kropki oznaczają węzły dudnień, w których suma jest równa zeru.
Widok „W przestrzeni” powtarza oryginał: częstotliwości oznaczają liczbę okresów na szerokości pola (jednostki względne), a fale biegną w prawo z jednakową prędkością 0,9 cyklu/s, więc obwiednia stoi w miejscu. Widok „W czasie” pokazuje sygnał w jednym punkcie w ciągu ostatniej sekundy: tutaj częstotliwości są rzeczywiste (Hz), obwiednia się porusza, a wskaźnik „głośność” pulsuje z częstotliwością dudnień.
Przycisk „Dźwięk” odtwarza ton 440 Hz i drugi ton 440 + (f₂ − f₁) Hz, więc słychać dudnienia dokładnie z częstotliwością |f₂ − f₁|. Przy Δf ≈ 1 Hz jest to powolna pulsacja, przy Δf powyżej 15 Hz przechodzi ona w chropowatość.
Interwał w centach pokazuje, jak bliskie są częstotliwości: 100 centów to półton. Dudnienia są słyszalne, dopóki różnica jest mniejsza niż ~20 % częstotliwości.

Wprowadź częstotliwości dwóch źródeł dźwięku w hercach. Otrzymasz częstotliwość dudnień, ich okres, częstotliwość średnią i liczbę dudnień w wybranym czasie. Wygodne do strojenia strun i kamertonów.

Częstotliwość pierwszego źródła f₁, Hz

Częstotliwość drugiego źródła f₂, Hz

Czas obserwacji t, s

Przykłady:

—

Częstotliwość dudnień, Hz

—

Okres dudnień, s

—

Częstotliwość nośna, Hz

—

Dudnienia w czasie t

—

Interwał między częstotliwościami, centy

—

Jak to brzmi

f_d = |f₂ − f₁|, T_d = 1 / f_d, f_śr = (f₁ + f₂) / 2
Interwał: 1200 · log₂(f₂ / f₁) centów

Częstotliwość dudnień i to, co słyszymy (orientacyjnie)

Δf, Hz	Okres dudnień, s	Jak jest odbierane
0,5	2	bardzo wolna pulsacja
1	1	wyraźnie słyszalne dudnienia
2	0,5	wyraźnie słyszalne dudnienia
4	0,25	szybkie tremolo
8	0,125	szybkie tremolo
15	0,067	granica dudnień i chropowatości
30	0,033	chropowatość, dysonans
60	0,017	dwa oddzielne tony

Dudnienia fal online: symulacja i kalkulator częstotliwości dudnień

Darmowe interaktywne narzędzie pokazujące, jak dwie fale o bliskich częstotliwościach dają dudnienia: amplituda sumy to rośnie, to prawie znika. Zmieniaj częstotliwości f₁ i f₂, obserwuj osobne fale, ich sumę i obwiednię, przełączaj się między widokiem przestrzennym i czasowym oraz włącz dźwięk, aby usłyszeć dudnienia. Kalkulator oblicza częstotliwość i okres dudnień, ich liczbę w wybranym czasie oraz interwał w centach.

Kluczowe pojęcia

Częstotliwość dudnień

Jest równa wartości bezwzględnej różnicy częstotliwości dwóch fal. Im bliższe częstotliwości, tym wolniejsza pulsacja.

f_d = |f₂ − f₁|

Obwiednia

Wolna krzywa, wewnątrz której oscyluje szybka fala nośna. Jej kształt to 2|cos(π Δf t)|, a zera to węzły dudnień.

A(t) = 2 |cos(π Δf t)|

Superpozycja

Suma dwóch fal w każdym punkcie. W fazie fale się wzmacniają, w przeciwfazie gaszą.

y = y₁ + y₂

Gdzie się to stosuje

Strojenie gitary, skrzypiec, fortepianu i kamertonów „na dudnienia”
Chór i orkiestra: dlaczego jednakowe nuty brzmią nieco „żywiej”
Radiotechnika: odbiór heterodynowy i mieszanie częstotliwości
Pomiar małej różnicy częstotliwości laserów i fal świetlnych
Pomiary prędkości metodą Dopplera na podstawie dudnień sygnału odbitego i odniesienia
Nauczanie fizyki fal i akustyki

Jak korzystać

Przesuwaj suwaki f₁ i f₂ i obserwuj, jak zmienia się obwiednia
Ustaw równe częstotliwości: dudnienia znikają, a suma staje się czystą sinusoidą o podwójnej amplitudzie
Przełącz widok na „W czasie”, aby zobaczyć poruszającą się obwiednię i pulsację głośności
Włącz dźwięk i policz dudnienia ze słuchu
W zakładce „Kalkulator” wpisz rzeczywiste częstotliwości swoich strun lub kamertonów

Najczęstsze pytania

Czym są dudnienia?

To okresowe zmiany amplitudy drgań, które powstają przy dodawaniu dwóch fal o bliskich częstotliwościach. Suma wygląda jak szybka fala, której amplituda powoli rośnie i maleje. W przypadku dźwięku odczuwa się to jako pulsację głośności.

Jakim wzorem oblicza się częstotliwość dudnień?

Częstotliwość dudnień jest równa wartości bezwzględnej różnicy częstotliwości: f_d = |f₂ − f₁|. Na przykład tony 440 i 443 Hz dają 3 dudnienia na sekundę, czyli okres około 0,33 s.

Dlaczego amplituda sumy pulsuje?

Z powodu tożsamości trygonometrycznej sin(a) + sin(b) = 2 cos((a − b)/2) · sin((a + b)/2). Szybki czynnik sinus daje falę nośną o średniej częstotliwości (f₁ + f₂)/2, a wolny czynnik cosinus tworzy obwiednię, która zmienia się z częstotliwością |f₂ − f₁|/2, dając |f₂ − f₁| maksimów na sekundę.

Jak stroi się instrumenty na dudnienia?

Muzyk gra jednocześnie ton wzorcowy i dźwięk na instrumencie i słucha pulsacji. Im wolniejsze dudnienia, tym dokładniej zgadzają się częstotliwości. Gdy dudnienia znikają, struna jest nastrojona w unisono ze wzorcem.

Dlaczego przy dużej różnicy częstotliwości dudnień nie słychać?

Gdy różnica przekracza około 15–20 Hz, ucho nie nadąża za pulsacją: dźwięk staje się chropowaty, a potem rozpada się na dwa oddzielne tony. Poza tym dudnienia są zauważalne tylko wtedy, gdy częstotliwości leżą w obrębie jednego pasma krytycznego słuchu, zwykle około 20 % częstotliwości.