≈ Schwebung
Zwei Wellen mit nahen Frequenzen erzeugen eine Amplitudenpulsation: Simulation mit Einhüllender, Ton und Rechner für die Schwebungsfrequenz.
Frequenz f₁6,0
Frequenz f₂6,8
Animationsgeschwindigkeit×1,0
Ansicht:
Beispiele:
Schwebungsparameter
—
Frequenz f₁
—
Frequenz f₂
—
Schwebungsfrequenz |f₂ − f₁|
—
Trägerfrequenz (f₁ + f₂) / 2
—
Schwebungsperiode 1 / |f₂ − f₁|
—
Intervall, Cent
Summe zweier Wellen: sin(2π f₁ t) + sin(2π f₂ t) = 2 cos(π (f₂ − f₁) t) · sin(2π · (f₁ + f₂)/2 · t)
Schwebungsfrequenz: fS = |f₂ − f₁| Einhüllende: 2 |cos(π (f₂ − f₁) t)|
Schwebungsfrequenz: fS = |f₂ − f₁| Einhüllende: 2 |cos(π (f₂ − f₁) t)|
- Die grüne Kurve unten ist die Summe der beiden Wellen. Sind die Wellen in Phase, verdoppelt sich die Amplitude; sind sie gegenphasig, verschwindet die Summe. Die gelben Linien sind die Einhüllende, und die gelben Punkte markieren die Schwebungsknoten, an denen die Summe null ist.
- Die Ansicht „Im Raum“ entspricht dem Original: Die Frequenzen bedeuten die Anzahl der Perioden über die Breite des Feldes (relative Einheiten), und die Wellen laufen mit derselben Geschwindigkeit von 0,9 Zyklen/s nach rechts, sodass die Einhüllende stillsteht. Die Ansicht „In der Zeit“ zeigt das Signal an einem Punkt über die letzte Sekunde: Hier sind die Frequenzen real (Hz), die Einhüllende bewegt sich, und die Anzeige „Lautstärke“ pulsiert mit der Schwebungsfrequenz.
- Die Taste „Ton“ spielt einen Ton von 440 Hz und einen zweiten Ton von 440 + (f₂ − f₁) Hz, sodass Sie die Schwebung genau mit der Frequenz |f₂ − f₁| hören. Bei Δf ≈ 1 Hz ist das eine langsame Pulsation, bei Δf über 15 Hz geht sie in Rauigkeit über.
- Das Intervall in Cent zeigt, wie nah die Frequenzen beieinanderliegen: 100 Cent sind ein Halbton. Schwebungen sind hörbar, solange der Unterschied kleiner als ~20 % der Frequenz ist.
Geben Sie die Frequenzen zweier Schallquellen in Hertz ein. Sie erhalten die Schwebungsfrequenz, ihre Periode, die mittlere Frequenz und die Anzahl der Schwebungen in der gewählten Zeit. Praktisch zum Stimmen von Saiten und Stimmgabeln.
Frequenz der ersten Quelle f₁, Hz
Frequenz der zweiten Quelle f₂, Hz
Beobachtungszeit t, s
Beispiele:
—
Schwebungsfrequenz, Hz
—
Schwebungsperiode, s
—
Trägerfrequenz, Hz
—
Schwebungen in der Zeit t
—
Intervall zwischen den Frequenzen, Cent
—
Wie es klingt
fS = |f₂ − f₁|, TS = 1 / fS, fm = (f₁ + f₂) / 2
Intervall: 1200 · log₂(f₂ / f₁) Cent
Intervall: 1200 · log₂(f₂ / f₁) Cent
Schwebungsfrequenz und das, was wir hören (Richtwerte)
| Δf, Hz | Schwebungsperiode, s | Wie es wahrgenommen wird |
|---|---|---|
| 0,5 | 2 | sehr langsame Pulsation |
| 1 | 1 | deutlich hörbare Schwebungen |
| 2 | 0,5 | deutlich hörbare Schwebungen |
| 4 | 0,25 | schnelles Tremolo |
| 8 | 0,125 | schnelles Tremolo |
| 15 | 0,067 | Grenze zwischen Schwebung und Rauigkeit |
| 30 | 0,033 | Rauigkeit, Dissonanz |
| 60 | 0,017 | zwei getrennte Töne |
Schwebung von Wellen online: Simulation und Schwebungsrechner
Ein kostenloses interaktives Werkzeug, das zeigt, wie zwei Wellen mit nahen Frequenzen eine Schwebung erzeugen: Die Amplitude der Summe wächst abwechselnd und verschwindet fast. Ändern Sie die Frequenzen f₁ und f₂, betrachten Sie die einzelnen Wellen, ihre Summe und die Einhüllende, wechseln Sie zwischen Orts- und Zeitansicht und schalten Sie den Ton ein, um die Schwebung zu hören. Der Rechner ermittelt Schwebungsfrequenz und -periode, die Anzahl der Schwebungen in einer gewählten Zeit und das Intervall in Cent.
Schlüsselbegriffe
Schwebungsfrequenz
Entspricht dem Betrag der Differenz der Frequenzen der beiden Wellen. Je näher die Frequenzen beieinanderliegen, desto langsamer ist die Pulsation.
fS = |f₂ − f₁|
Einhüllende
Eine langsame Kurve, innerhalb der die schnelle Trägerwelle schwingt. Ihre Form ist 2|cos(π Δf t)|, und ihre Nullstellen sind die Schwebungsknoten.
A(t) = 2 |cos(π Δf t)|
Überlagerung
Die Summe zweier Wellen in jedem Punkt. In Phase verstärken sich die Wellen, in Gegenphase löschen sie sich aus.
y = y₁ + y₂
Wo es angewendet wird
- Gitarren, Geigen, Klaviere und Stimmgabeln „nach Schwebungen“ stimmen
- Chor und Orchester: Warum gleiche Töne etwas „lebendiger“ klingen
- Funktechnik: Überlagerungsempfang und Frequenzmischung
- Messung kleiner Frequenzunterschiede von Lasern und Lichtwellen
- Doppler-Geschwindigkeitsmessung anhand der Schwebungen von reflektiertem und Referenzsignal
- Unterricht in Wellenphysik und Akustik
So funktioniert’s
- Bewegen Sie die Regler f₁ und f₂ und beobachten Sie, wie sich die Einhüllende ändert
- Machen Sie die Frequenzen gleich: Die Schwebung verschwindet, und die Summe wird zu einer reinen Sinuswelle mit doppelter Amplitude
- Wechseln Sie zur Ansicht „In der Zeit“, um die bewegte Einhüllende und die Lautstärkepulsation zu sehen
- Schalten Sie den Ton ein und zählen Sie die Schwebungen nach Gehör
- Geben Sie im Reiter „Rechner“ die realen Frequenzen Ihrer Saiten oder Stimmgabeln ein
Häufige Fragen
Was ist eine Schwebung?
Das sind periodische Änderungen der Schwingungsamplitude, die entstehen, wenn zwei Wellen mit nahen Frequenzen addiert werden. Die Summe sieht aus wie eine schnelle Welle, deren Amplitude langsam an- und abschwillt. Bei Schall wird das als Pulsieren der Lautstärke wahrgenommen.
Mit welcher Formel berechnet man die Schwebungsfrequenz?
Die Schwebungsfrequenz ist gleich dem Betrag der Frequenzdifferenz: f_S = |f₂ − f₁|. Zum Beispiel ergeben Töne von 440 und 443 Hz 3 Schwebungen pro Sekunde, also eine Periode von etwa 0,33 s.
Warum pulsiert die Amplitude der Summe?
Wegen der trigonometrischen Identität sin(a) + sin(b) = 2 cos((a − b)/2) · sin((a + b)/2). Der schnelle Sinusfaktor liefert eine Trägerwelle mit der mittleren Frequenz (f₁ + f₂)/2, während der langsame Kosinusfaktor die Einhüllende bildet, die sich mit der Frequenz |f₂ − f₁|/2 ändert und |f₂ − f₁| Maxima pro Sekunde ergibt.
Wie stimmt man Instrumente nach Schwebungen?
Der Musiker spielt gleichzeitig einen Referenzton und die Note auf dem Instrument und achtet auf die Pulsation. Je langsamer die Schwebung, desto genauer stimmen die Frequenzen überein. Verschwindet die Schwebung, ist die Saite im Einklang mit der Referenz gestimmt.
Warum hört man bei großem Frequenzunterschied keine Schwebung?
Übersteigt der Unterschied etwa 15–20 Hz, kann das Ohr der Pulsation nicht mehr folgen: Der Klang wird rau und zerfällt dann in zwei getrennte Töne. Außerdem sind Schwebungen nur bemerkbar, solange die Frequenzen innerhalb einer kritischen Hörbandbreite liegen, meist etwa 20 % der Frequenz.